Question

如图，已知直径与等边△ABC的高相等的圆O分别与边AB、BC相切于点D、E，边AC过圆心O与圆O相交于点F、G．（1）求证：DE∥AC；
（2）若△ABC的边长为a，求△ECG的面积。

Answer 1

解：（1）∵△ABC是等边三角形， ∴∠B=60°，∠C=60°； ∵AB、BC是圆O的切线，D、E是切点， ∴BD=BE， ∴∠BDE=60°，∠A=60°，有DE∥AC； （2）分别连接OD、OE，作EH⊥AC于点H， ∵AB、BC是圆O的切线，D、E是切点，O是圆心， ∴∠ADO=∠OEC=90°，OD=OE，AD=EC， ∴△ADO≌△CEO，有AO=OC=a， ∵圆O的直径等于△ABC的高，得半径OG=， ∴CG=OC+OG=a+， ∵EH⊥OC，∠C=60°， ∴∠COE=30°，EH=； ∵S△ECG=CG·EH=（）， ∴。