Question

如图，在平面直角坐标系中，点A(，0)，B(3，2)，（0，2)．动点D以每秒1个单位的速度从点0出发沿OC向终点C运动，同时动点E以每秒2个单位的速度从点A出发沿AB向终点B运动．过点E作EF上AB，交BC于点F，连结DA．DF．设运动时间为t秒．

 (1)求∠ABC的度数；

(2)当t为何值时，AB∥DF；

(3)设四边形AEFD的面积为S．①求S关于t的函数关系式；

②若一抛物线y=x²+mx经过动点E，当S<2时，求m的取值范围(写出答案即可)．

Answer 1

解：（1）过点B作BM⊥x轴于点M，

                           

∵C（0，2），B（3，2），

∴BC∥OA，

∵BM=2，AM=2，

∴tan∠BAM=，

∴∠ABC=∠BAM=30°．

（2）∵AB∥DF，

∴∠CFD=∠CBA=30°，

在Rt△DCF中，CD=2－t，∠CFD=30°，

∴CF=（2－t），

∵AB=4，

∴BE=4－2t，∠FBE=30°，

∴BF=，

∴（2－t）+=3，∴t=．

（3）①解法一：过点EG⊥x轴于点G，则EG=t，OG=+t

∴E（+t，t）∴DE∥x轴

S=S_△DEF+ S_△DEA=DE×CD+DE×OD=DE×OC

 =×（t+）×2=t+．

解法二：∵BF=   ∴CF=3－=

∴S= S_梯形OABC－ S_△COA －S_△CDF－ S_△FEB

   =4－t－（2－t）（4t+1）－（4－2t）²

   =t+.

②当S<2时，t+<2

∴t<1      ∵t>0      ∵0<t<1

∴<m<