Question

【题目】如图，二次函数的图象经过点，直线与轴交于点为二次函数图象上任一点．

求这个二次函数的解析式；

若点是直线上方抛物线上一点，过分别作和轴的垂线，交直线于不同的两点在的左侧)，求周长的最大值；

是否存在点，使得是以为直角边的直角三角形？如果存在，求点的坐标；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】；最大周长为；或或．

【解析】

（1）运用待定系数法求这个二次函数的解析式；

（2）先求解的解析式，证明 得到 利用的坐标表示的长度，利用三角函数求解的长度，建立周长与的横坐标之间的函数关系式，利用函数的最值求周长的最大值，

（3）分情况讨论：以为直角顶点，利用 可直接得到答案，以为直角顶点时，利用求解的解析式，联立一次函数与二次函数的解析式可得答案．

解：（1）

设抛物线为：

把代入

（2）设直线为

解得：

轴，轴，

设

的周长

当时，周长最大．

最大周长为：

（3）如图，当时，

为抛物线与轴的交点，

当时，与轴交于点，

设的解析式为：

解得：

为

解得：

或

综上：以为直角边的直角三角形时，点坐标为或或．