Question

【题目】如图，在中，，，点在上，，若⊙的圆心在线段上，且⊙与都相切，则⊙的半径是___________．

Answer 1

【答案】

【解析】

过O点作OM⊥AC、ON⊥AB，设⊙O半径为R，求出OM＝MP＝R，根据勾股定理求出BP，OP，求出BO，根据切线长定理求出AN＝AM＝1＋R，求出BN，在Rt△BNO中，根据勾股定理求出即可．

过O点作OM⊥AC、ON⊥AB，

∵⊙O与AB、AC都相切，

∴AN＝AM，OM⊥CP，ON⊥AB，

∴∠BNO＝∠OMP＝90 ，

设⊙O半径为R，

在Rt△ABC中，∠C＝90 ，AC＝4，AB＝5，由勾股定理得：BC＝3，

∵AP＝1，AC＝4，

∴CP＝41＝3＝BC，

∴∠CBP＝∠CPB＝45 ，

∵∠OMP＝90 ，

∴∠MOP＝45 ＝∠OPM，

∴OM＝MP＝R，

在Rt△OMP中，由勾股定理得：PO＝R，

在Rt△BCP中，由勾股定理得：BP＝3 ，

则BO＝3R，AM＝AN＝1＋R，

∴BN＝BAAN＝5（1＋R）＝4R，

∵在Rt△BNO中，由勾股定理得：BN2＋ON2＝BO2，

∴（4R）2＋R2＝（3R）2，

解得：R＝，

故答案为：．