Question

如图，抛物线y=ax²+bx+5经过点A（-1，0），B（2，5），抛物线与x轴的另一个交点为C点，点P为y轴上一动点，作平行四边形BPCD．
（1）求C点的坐标；
（2）是否存在P点，使四边形BPCD为矩形？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由；
（3）连结PD，PD的长度是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由；
（4）若E为AC中点，求抛物线上满足到E点的距离小于2的所有点的横坐标x的范围．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）将A、B两点的坐标代入y=ax²+bx+5，利用待定系数法求出函数解析式，再将y=0代入，解一元二次方程即可求出C点的坐标；
（2）设抛物线y=-

5

3

x²+

10

3

x+5与y轴交于点F，连结BF，则∠BFP=90°，先证明△BPF∽△PCO，根据相似三角形对应边成比例列式求出OP，然后写出点P的坐标即可；
（3）连接BC，设PD、BC相交于点H，根据平行四边形的对角线互相平分可得PD=2PH，再求出点H的坐标，再根据垂线段最短可得PH⊥y轴时，PH最短，从而求出PH，再求出PD即可；
（4）先写出以点E为圆心，以2为半径的圆的解析式，然后消掉x得到关于y的一元二次方程，求解得到y的值，再代入抛物线解析式求出到点E的距离等于2的横坐标x的值，然后根据函数图象解答．

解答：解：（1）∵抛物线y=ax²+bx+5经过点A（-1，0），B（2，5），
∴

a-b+5=0 4a+2b+5=5

，
解得

a=- 5 3 b= 10 3

，
∴y=-

5

3

x²+

10

3

x+5，
当y=0时，-

5

3

x²+

10

3

x+5=0，
解得x₁=-1，x₂=3，
∴C点的坐标为（3，0）；

（2）如图，设抛物线y=-

5

3

x²+

10

3

x+5与y轴交于点F，则F点坐标为（0，5），连结BF．
∵B（2，5），
∴∠BFP=90°，
∵四边形BPCD为矩形，∠BPC=90°，
∴∠BPF+∠OPC=90°，
∵∠OPC+∠PCO=90°，
∴∠BPF=∠PCO．
在△BPF与△PCO中，

∠BPF=∠PCO ∠BFP=∠POC=90°

，
∴△BPF∽△PCO，
∴

PF

CO

=

BF

PO

，
∵B（2，5），F（0，5），C（3，0），
∴BF=2，OC=3，OF=5，
∴PF=5-OP，
∴

5-OP

3

=

2

OP

，
整理得，OP²-5OP+6=0，
解得OP=2或OF=3，
∴点P的坐标为（0，2）或（0，3）；

（3）连接BC，设PD、BC相交于点H，
∵四边形BPCD是平行四边形，
∴PD、BC互相平分，
∴PD=2PH，
又∵C（3，0），B（2，5），
∴点H的坐标为（2.5，2.5），
根据垂线段最短，PH⊥y轴时，PH最短，
此时，PH=2.5，
PD=2PH=2×2.5=5；

（4）抛物线解析式为y=-

5

3

x²+

10

3

x+5=-

5

3

（x-1）²+

20

3

，
∵E为AC中点，
∴点E的坐标为（1，0），
∴以E为圆心，以2为半径的圆为（x-1）²+y²=4，
与抛物线解析式联立消掉（x-1）²得，-

5

3

（4-y²）+

20

3

=y，
整理得，5y²-3y=0，
解得y₁=0，y₂=

3

5

，
y=

3

5

时，-

5

3

（x-1）²+

20

3

=

3

5

，
整理得，（x-1）²=

91

25

，
解得x₁=

5- 91

5

，x₂=

5+ 91

5

，
故当-1＜x＜

5- 91

5

或

5+ 91

5

＜x＜3时，抛物线上的点到E点的距离小于2．

点评：本题是二次函数综合题型，其中涉及到的知识点有利用待定系数法求二次函数解析式，相似三角形的判定与性质，平行四边形的对角线互相平分的性质等知识，综合性较强．利用圆的解析式求出抛物线到点E的距离等于2的点的纵坐标是解题的关键，也是本题的难点．