Question

在直角坐标系xOy中，已知点P是反比例函数y=

2 3

x

（x＞0）图象上一个动点，以P为圆心的圆始终与y轴相切，设切点为A．
（1）如图1，⊙P运动到与x轴相切，设切点为K，试判断四边形OKPA的形状，并说明理由．
（2）如图2，⊙P运动到与x轴相交，设交点为B，C．当四边形ABCP是菱形时：
①求出点A，B，C的坐标．
②在过A，B，C三点的抛物线上是否存在点M，使△MBP的面积是菱形ABCP面积的

1

2

？若存在，试求出所有满足条件的M点的坐标；若不存在，试说明理由．

Answer 1

分析：（1）四边形OKPA是正方形．当⊙P分别与两坐标轴相切时，PA⊥y轴，PK⊥x轴，x轴⊥y轴，且PA=PK，可判断结论；
（2）①连接PB，设点P（x，

2 3

x

），过点P作PG⊥BC于G，则半径PB=PC，由菱形的性质得PC=BC，可知△PBC为等边三角形，在Rt△PBG中，∠PBG=60°，PB=PA=x，PG=

2 3

x

，利用sin∠PBG=

PG

PB

，列方程求x即可；
②求直线PB的解析式，利用过A点或C点且平行于PB的直线解析式与抛物线解析式联立，列方程组求满足条件的M点坐标即可．

解答：解：（1）四边形OKPA是正方形．
证明：∵⊙P分别与两坐标轴相切，
∴PA⊥OA，PK⊥OK．
∴∠PAO=∠OKP=90°．
又∵∠AOK=90°，
∴∠PAO=∠OKP=∠AOK=90°．
∴四边形OKPA是矩形．
又∵AP=KP，
∴四边形OKPA是正方形．（2分）

（2）①连接PB，设点P的横坐标为x，则其纵坐标为

2 3

x

．
过点P作PG⊥BC于G．
∵四边形ABCP为菱形，
∴BC=PA=PB=PC（半径）．
∴△PBC为等边三角形．
在Rt△PBG中，∠PBG=60°，PB=PA=x，
PG=

2 3

x

．
sin∠PBG=

PG

PB

，即

3

2

=

2 3 x

x

．
解之得：x=±2（负值舍去）．
∴PG=

3

，PA=BC=2．（4分）
易知四边形OGPA是矩形，PA=OG=2，BG=CG=1，
∴OB=OG-BG=1，OC=OG+GC=3．
∴A（0，

3

），B（1，0），C（3，0）．（6分）
设二次函数解析式为：y=ax²+bx+c．
据题意得：

a+b+c=0 9a+3b+c=0 c= 3

解之得：a=

3

3

，b=-

4 3

3

，c=

3

．
∴二次函数关系式为：y=

3

3

x2-

4 3

3

x+

3

．（9分）

②解法一：设直线BP的解析式为：y=ux+v，据题意得：

u+v=0 2u+v= 3

解之得：u=

3

，v=-

3

．
∴直线BP的解析式为：y=

3

x-

3

，
过点A作直线AM∥BP，则可得直线AM的解析式为：y=

3

x+

3

．
解方程组：

y= 3 x+ 3 y= 3 3 x2- 4 3 3 x+ 3

得：

x1=0 y1= 3

；

x2=7 y2=8 3

．
过点C作直线CM∥PB，则可设直线CM的解析式为：y=

3

x+t．
∴0=3

3

+t．
∴t=-3

3

．
∴直线CM的解析式为：y=

3

x-3

3

．
解方程组：

y= 3 x-3 3 y= 3 3 x2- 4 3 3 x+ 3

得：

x1=3 y1=0

；

x2=4 y2= 3

．
综上可知，满足条件的M的坐标有四个，
分别为：（0，

3

），（3，0），（4，

3

），（7，8

3

）．（12分）

解法二：∵S△PAB=S△PBC=

1

2

S?PABC，
∴A（0，

3

），C（3，0）显然满足条件．
延长AP交抛物线于点M，由抛物线与圆的轴对称性可知，PM=PA．
又∵AM∥BC，
∴S△PBM=S△PBA=

1

2

S?PABC．
∴点M的纵坐标为

3

．
又∵点M的横坐标为AM=PA+PM=2+2=4．
∴点M（4，

3

）符合要求．
点（7，8

3

）的求法同解法一．
综上可知，满足条件的M的坐标有四个，
分别为：（0，

3

），（3，0），（4，

3

），（7，8

3

）．（12分）

解法三：延长AP交抛物线于点M，由抛物线与圆的轴对称性可知，PM=PA．
又∵AM∥BC，
∴S△PBM=S△PBA=

1

2

S?PABC．
∴点M的纵坐标为

3

．
即

3

3

x2-

4 3

3

x+

3

=

3

．
解得：x₁=0（舍），x₂=4．
∴点M的坐标为（4，

3

）．
点（7，8

3

）的求法同解法一．
综上可知，满足条件的M的坐标有四个，
分别为：（0，

3

），（3，0），（4，

3

），（7，8

3

）．（12分）

点评：本题考查了二次函数的综合运用．关键是由菱形、圆的性质，数形结合解题．