Question

在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，点Q在AB上且AQ=2，过点Q作QR⊥AB垂足为Q，QR交折线AC-CB于R，当点Q以每秒1个单位的速度向终点B移动时，点P同时从点A出发，以每秒3个单位的速度沿AB-BC-CA移动．设移动的时间为t（秒），
（1）当t=1秒时，RQ=______，△ARQ的面积是______．
（2）设△ARQ的面积是S，请写出S与t的函数关系式．
（3）t为何值时PQ∥AC？
（4）当t为何值时，直线QR经过点P？
（5）当点P在AB上运动时，以PQ为边在AB上方作正方形．若正方形PQMN在Rt△ABC内部时，请计算出此时t的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据题意得△AQR∽△ACB，由相似三角形的性质求得QR，再根据三角形的面积公式求得面积；
（2）分两种情况进行讨论：①当R在AC边上，由△ARQ∽△ABC得，S=t²+t+；②当R在BC边上，S=t²+4t+．
（3）当PQ∥AC时，由△BPQ∽△BCA得出t；
（4）分三种情况讨论即可：①当Q．P均在AB上时；②当P在BC上时；③当P在AC上不存在QR经过点P
（5）有两种情况：当点P在点Q的左侧时，若点N落在AC上，则PQ=2+t-3t=2-2t，由△APN∽△ACB得，从而得出t；
当点P在点Q的右侧时，若点N落在BC上，则由△BPN∽△BCA得，综上两种情况，可得出t的取值范围．
解答：解：（1），；（2分）

（2）当R在AC边上，
由△ARQ∽△ABC得，=，RQ=（2+t），
S=（2+t）×（2+t）=（2+t）²=t²+t+，
当R在BC边上，RQ=（8-t），S=t²+4t+；（5分）

（3）当PQ∥AC时，BQ=10-（2+t）=8-tBP=3t-10，
由△BPQ∽△BCA得：
=，
解得t=；（7分）

（4）①当Q．P均在AB上时AP=3t，AQ=2+t，
AP=AQ即3t=2+t，
t=1，
②当P在BC上时，
由△BPQ∽△BAC得=，
即：=，
t=5s，
③当P在AC上不存在QR经过点P，
综上当t=1s或5s时直线QR经过点P；（10分）

（5）当点P在点Q的左侧时，若点N落在AC上，
∵AP=3t，Q=2+t，
∴PQ=2+t-3t=2-2t，
∵四边形PQMN是正方形，
∴PN=2-2t，
由△APN∽△ACB得，
即，
解得，
当点P在点Q的右侧时，若点N落在BC上，BP=10-3t，
PN=PQ=2t-2由△BPN∽△BCA得，
即，
解得，
∵t=1时点P与点Q重合．
∴≤t≤且t≠1时正方形PQMN在Rt△ABC内部．（12分）
点评：本题是一道综合性较强的题目，考查了相似三角形的判定和性质、勾股定理以及正方形的性质，是中考压轴题，难度较大．