Question

（2011•蓬江区二模）（1）计算：如图1，直径为a的三等圆⊙O₁、⊙O₂、⊙O₃两两外切，切点分别为A、B、C，求O₁A的长（用含a的代数式表示）．

（2）探索：若干个直径为a的圆圈分别按如图2所示的方案一和如图3所示的方案二的方式排放，探索并求出这两种方案中n层圆圈的高度h_n和

h

′ n

（用含n、a的代数式表示）．

Answer 1

分析：（1）根据等边三角形的性质以及勾股定理进行求解；
（2）n个圆的直径即为图2中的高，根据等边三角形的性质和勾股定理进行计算图3中的高．

解答：解（1）∵⊙O₁、⊙O₂、⊙O₃两两外切，
∴O₁O₂=O₂O₃=O₁O₃=a，
又∵O₂A=O₃A，
∴O₁A⊥O₂O₃，
∴O₁A=

a2- 1 4

a2，
=

3

2

a；

（2）如图2，h_n=na；
如图3，∵AB=BC=AC=a，
∴△ABC是等边三角形，
∴AD=

3

2

a，
∴

h

′ n

=

3

2

(n-1)a+a．

点评：此题考查了相切两圆的性质、等边三角形的判定与性质以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．