Question

【题目】（）如图①，在四边形中，，，、分别是边、上的点，且．

求证：．

（）如图②，在四边形中，，，、分别是边、上的点，且，（）中的结论是否仍然成立？

（）如图③，在四边形中，，，、分别是边、延长线上的点，且．（）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明．

Answer 1

【答案】见解析

【解析】（1）可通过构建全等三角形来实现线段间的转换．延长EB到G，使BG=DF，连接AG．目的就是要证明三角形AGE和三角形AEF全等将EF转换成GE，那么这样EF=BE+DF了，于是证明两组三角形全等就是解题的关键．三角形ABE和AEF中，只有一条公共边AE，我们就要通过其他的全等三角形来实现，在三角形ABG和AFD中，已知了一组直角，BG=DF，AB=AD，因此两三角形全等，那么AG=AF，∠1=∠2，那么∠1+∠3=∠2+∠3=∠EAF=∠BAD．由此就构成了三角形ABE和AEF全等的所有条件（SAS），那么就能得出EF=GE了．
（2）思路和作辅助线的方法与（1）完全一样，只不过证明三角形ABG和ADF全等中，证明∠ABG=∠ADF时，用到的等角的补角相等，其他的都一样．因此与（1）的结果完全一样．
（3）按照（1）的思路，我们应该通过全等三角形来实现相等线段的转换．就应该在BE上截取BG，使BG=DF，连接AG．根据（1）的证法，我们可得出DF=BG，GE=EF，那么EF=GE=BE-BG=BE-DF．所以（1）的结论在（3）的条件下是不成立的．

（）延长至点，使，连接，

∵，，

∴≌，

∴，，

∴，

∴，

在和中，

，

∴≌，

∴，

∵，

∴．

（）（）中的结论仍成立，

证明：延长至点，使，

∵，

，

∴，

在和中，

，

∴≌，

∴，,

∵，

∴，

∴即，

在和中，

，

∴≌，

∴，即．

（）结论不成立，应当是，

证明：在上截取使，

连接，

∵，，

∴，

∵在和中，

，

∴≌，

∴，，

∴，

，

∴，

在和中，

，

∴≌，

∴，

∵，

∴．