Question

如图，△ABC中，AD平分∠BAC交△ABC的外接圆⊙O于点H，过点H作EF∥BC交AC、AB的延长线于点E、F．
（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）若AH=8，DH=2，求CH的长；
（3）若∠CAB=60°，在（2）的条件下，求的长．

Answer 1

【答案】分析：（1）连接OH，证OH⊥EF即可．
（2）可通过相似三角形来求CH的长，证△CDH∽△ACH，于是便可得出关于CH，AH，DH的比例关系，即可求出HC的长．
（3）连接OC，OB，由已知可得到△COH是等边三角形，（2）已经求出了CH的长，也就有了半径的长，然后根据弧长的计算公式即可得出弧的长．
解答：（1）证明：连接OH，
∵AD平分∠EAF，
∴∠EAH=∠FAH．
∴．
又∵OH是⊙O的半径，
∴OH⊥BC．
又∵EF∥BC，
∴EF⊥OH．
∴EF是⊙O的切线．

（2）解：∵∠HCB=∠HAB，
∵∠HAB=∠HAC．
∴∠HCB=∠HAC．
又∵∠CHA是公共角，
∴△CDH∽△ACH．
∴．
∴CH²=8×2．
∴CH=4．

（3）解：连接OB，OC，
∵∠EAF=60°，
∴∠COB=120°，∠COH=60°．
∵OC=OH，∠COH=60°，
∴△COH是等边三角形．
∴OC=OH=CH=4．
∴弧BHC的长=120°×π×4÷180°=．
点评：本题主要考查了切线的判定，相似三角形的判定和性质，圆周角定理等知识点，根据圆周角定理得出相应的角相等或角的度数是解题的关键．