Question

如图，已知梯形ABCD，AD∥BC，AB=AD=5，tan，E为射线BD上一动点，过点E作EF∥DC交射线BC于点F，连接EC，设BE=x，=y．

（1）求BD的长；
（2）当点E在线段BD上时，求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（3）连接DF，若△BDF与△BDA相似，试求BF的长．

Answer 1

【答案】分析：（1）过A作AH⊥BD于H，再根据AD∥BC，AB=AD=5，可得∠ABD=∠ADB=∠DBC，BH=HD，再根据tan∠ABD=tan，计算出BH=DH=4，进而得到BD=8；
（2）首先利用平行线的性质得出==，进而得出△FEB∽△CDB，即可得出y与x的函数关系式；
（3）分别根据当∠BFD=∠A时，当∠BFD=∠ABD时，利用相似三角形的性质求出BF的长即可．
解答：解：（1）如图1，过A作AH⊥BD于H，
∵AD∥BC，AB=AD=5，
∴∠ABD=∠ADB=∠DBC，BH=HD，
在Rt△ABH中，
∵tan∠ABD=tan，
∴cos∠ABD==，
∴BH=DH=4，
∴BD=8；

（2）∵EF∥DC，
∴==，
∵△EFC与△EFB同高，
∴==，
∵EF∥DC，
∴△FEB∽△CDB，
∴=（）²=（）²=，
∴y==•=•=-+x（0＜x＜8）；

（3）∵AD∥BC，
∴∠ADB=∠DBC，
∵△BDF与△BDA相似，
①如图2，当∠BFD=∠A时，
则∠ABD=∠FDB，
故AB∥DF，
∴四边形ABFD是平行四边形，
∴BF=AD=5，
②如图3，当∠BFD=∠ABD时，
∵∠ADB=∠DBC，∠BFD=∠ABD，
∴△ABD∽△DFB，
∴=，
∵∠ABD=∠ADB，∠BFD=∠ABD，
∴∠DBC=∠BFD，
∴DB=DF=8，
∴=，
∴BF=，
综上所述：当△BDF与△BDA相似时，BF的长为5或．
点评：此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及锐角三角函数关系等知识，利用数形结合、分类讨论得出是解题关键，注意不要漏解．