Question

（2012•香坊区二模）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=4，AD平分∠BAC，BD：CD=3：5，点E为AC的中点，ED的延长线交AB的延长线于点F，则BF=

6

．

Answer 1

分析：首先过点D作DM⊥AC与M，过点E作EN⊥AB于N，由AD平分∠BAC，∠ABC=90°，根据角平分线的性质，易得DM=DB，继而求得∠C的三角函数的值，又由AB=4，即可求得AC，BC的值，由点E为AC的中点，则可得EN是△ABC的中位线，则可求得AN=BN=2，EN=

1

2

BC，然后由△FBD∽△FNE，根据相似三角形的对应边成比例，即可求得答案．

解答：解：过点D作DM⊥AC与M，过点E作EN⊥AB于N，
∵AD平分∠BAC，∠ABC=90°，
∴DM=BD，EN∥BC，
∵BD：CD=3：5，
∴DM：CD=3：5，
∴在Rt△CDM中，sin∠C=

3

5

，tan∠C=

3

4

，
∵AB=4，
∴AC=

AB

sin∠C

=

20

3

，BC=

AB

tan∠C

=

16

3

，
∵点E为AC的中点，
∴AE=

1

2

AC，
∵EN∥BC，
∴EN=

1

2

BC=

8

3

，AN=BN=

1

2

AB=2，
∵BD=

3

8

BC=2，
∵BD∥EN，
∴△FBD∽△FNE，
∴

BF

NF

=

BD

EN

，即

BF

BF+2

=

2

8 3

，
解得：BF=6．
故答案为：6．

点评：此题考查了相似三角形的判定与性质、三角形中位线的性质、角平分线的性质以及三角函数等知识．此题难度较大，解题的关键是准确作出辅助线，注意数形结合思想的应用．