题目内容

(2012•香坊区二模)小区要用篱笆围成一个四边形花坛、花坛的一边利用足够长的墙,另三边所用的篱笆之和恰好为18米.围成的花坛是如图所示的四边形ABCD,其中∠ABC=∠BCD=90°,且BC=2AB.设AB边的长为x米.四边形ABCD面积为S平方米.
(1)请直接写出S与x之间的函数关系式(不要求写出自变量x的取值范围).
(2)当x是多少时,四边形ABCD面积S最大?最大面积是多少?
分析:(1)过点A作AE⊥CD于E,把四边形的面积分割为矩形ABCE和直角三角形AED的面积和即可;
(2)由(1)可知S和x为二次函数关系,根据二次函数的性质求其最大值即可.
解答:解:(1)过点A作AE⊥CD于E,则∠AEC=∠AED=90°
∵∠ABC=∠BCD=90°,
∴四边形ABCE是矩形,
∵BC=2AB.AB边的长为x米,
∴BC=2x,
∵四边形ABCE是矩形,
∴AB=CE=x,BC=AE=2x,
∵三边所用的篱笆之和恰好为18米.
∴CD=18-AB-BC=18-3x,
∴S四边形ABCD=S矩形ABCE+S△ADE
=x•2x+
1
2
DE•AE
=2x2+
1
2
(CD-CE)•AE
=-2x2+18x;
(2)∵S=-2x2+18x;
a=-2<0,
∴S有最大值,
当x=-
b
2a
=-
18
2×(-2)
=
9
2
时,
S最大=
4ac-b2
4a
=
81
2
点评:本题主要考查二次函数的实际应用,解题关键是要读懂题目的意思,根据题目给出的条件,列出函数关系式,根据函数的性质解答,属于中档题.
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