Question

如图，已知直线PA交⊙O于A、B两点，AE是⊙O的直径．点C为⊙O上一点，且AC平分∠PAE，过C作CD⊥PA，垂足为D．

(1)求证：CD为⊙O的切线；

(2)若DC＋DA＝6，⊙O的直径为10，求AB的长度．

Answer 1

答案：
解析：

(1)证明：连接OC， 　　因为点C在⊙O上，0A＝OC，所以∠OCA＝∠OAC，因为CD⊥PA，所以∠CDA＝90°， 　　有∠CAD＋∠DCA＝90°，因为AC平分∠PAE，所以∠DAC＝∠CAO． 　　所以∠DC0＝∠DCA＋∠ACO＝∠DCA＋∠CAO＝∠DCA＋∠DAC＝90°． 　　又因为点C在⊙O上，OC为⊙0的半径，所以CD为⊙0的切线． 　　(2)解：过O作0F⊥AB，垂足为F，所以∠OCA＝∠CDA＝∠OFD＝90°， 　　所以四边形OCDF为矩形，所以0C＝FD，OF＝CD． 　　∵DC＋DA＝6，设AD＝x，则OF＝CD＝6－x， 　　∵⊙O的直径为10，∴DF＝OC＝5，∴AF＝5－x， 　　在Rt△AOF中，由勾股定理得． 　　即，化简得： 　　解得或． 　　由AD＜DF，知，故． 　　从而AD＝2，AF＝5－2＝3． 　　∵OF⊥AB，由垂径定理知，F为AB的中点，∴AB＝2AF＝6．