Question

如图，Rt△ABC中，M为斜边AB上一点，且MB＝MC＝AC＝8cm，平行于BC的直线l从BC的位置出发以每秒1cm的速度向上平移，运动到经过点M时停止. 直线l分别交线段MB、MC、AC于点D、E、P，以DE为边向下作等边△DEF，设△DEF与△MBC重叠部分的面积为S（cm²），直线l的运动时间为t（秒）．

（1）求边BC的长度；

（2）求S与t的函数关系式；

（3）在整个运动过程中，是否存在这样的时刻t，使得以P、C、F为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．

（4）在整个运动过程中，是否存在这样的时刻t，使得以点D为圆心、BD为半径的圆与直线EF相切？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．

 

Answer 1

1）证得M为斜边中点，∠B＝30º，BC＝8………………………(1分)

（2）由题意，若点F恰好落在BC上，MF＝4(4－t)＝4，得t＝3.

当0＜t≤3时，S＝－t²＋8t…………………………………………………(3分)

当3＜t≤4时，S＝3t²－24t＋48…………………………………………(5分)

（3）当0＜t≤3时，∠FCP≥90º，且显然FC＞CP，故△PCF不可能为等腰三角形…(6分)

     当3＜t≤4时，若△PCF为等腰三角形，也只能FC＝FP，＝3(4－t)，得t＝……(8分)

（4）若相切，则2t＝3(4－t)，解得t＝