题目内容

阅读理解：对于三个数a，b，c用M{a，b，c}表示这三个数的平均数，用min{a，b，c}表示这三个数中最小的数．例如：M{-1，2，3}= $数学公式$ ，min{-1，2，3}=-1，min{-1，2，a}= $数学公式$
问题解决：
（1）填空： $数学公式$ =；
如果min{2，2x+2，4-2x}=2，则x的取值范围为≤x≤．
（2）①如果M{2，x+1，2x}=min{2，x+1，2x}，求x．
②根据①你发现了结论“如果M{a，b，c}=min{a，b，c}，那么（填a，b，c的大小关系）”．证明你发现的结论．
③运用②的结论，填空：
若M{2x+y+2，x+2y，2x-y}=min{2x+y+2，x+2y，2x-y}，则x+y=．
（3）在如图所示的同一直角坐标系中作出函数y=4x+1，y=x+2，y=-2x+4的图象．通过观察图象，填空：min{4x+1，x+2，-2x+4}的最大值为．

解（1） $\text{[math]}$ ；0≤x≤1．

（2）①∵ $\text{[math]}$ ．
∵2x-（x+1）=x-1．
当x≥1时，则min{2，x+1，2x}=2，则x+1=2，∴x=1．
当x＜1时，则min{2，x+1，2x}=2x，则x+1=2x，∴x=1（舍去）
综上所述：x=1．

②a=b=c．理由如下：
∵ $\text{[math]}$ ，
如果min{a，b，c}=c，则a≥c，b≥c．
则有 $\text{[math]}$ ，即a+b-2c=0．
∴（a-c）+（b-c）=0．
又a-c≥0，b-c≥0，∴a-c=0，且b-c=0．
∴a=b=c．
其他情况同理可证，故a=b=c．
③根据题意得： $\text{[math]}$ ，
解得： $\text{[math]}$
则x+y=-3-1=-4．

（3）作出图象（如图所示），由图象知min{4x+1，x+2，-2x+4}的最大值为 $\text{[math]}$ ．

分析：（1） $\text{[math]}$ 就是括号内的三个数中的最小的一个，据此即可确定；
min{2，2x+2，4-2x}=2，则2x+2≥2，且4-2x≥2，两个式子同时成立，据此即可求得x的范围；
（2）①M{2，x+1，2x}= $\text{[math]}$ =x+1，若M{2，x+1，2x}=min{2，x+1，2x}，则x+1是2、x+1、2x中最小的一个，即：x+1≤2且x+1≤2x，据此即可求得x的值；
②根据①可以得到结论：当三个数的平均数等于三个数中的最小的数，则这几个数相等，据此即可写出；
③根据结论，三个数相等，即可求得x，y的值，从而求得x+y的值；
（3）首先作出三个函数的图象，min{4x+1，x+2，-2x+4}的最大值为三个函数的图象的交点中，横坐标最大的点的纵坐标就是所求的值．
点评：本题是一次函数与平均数，最小值函数相结合的题目，正确理解（1）中得到的结论是关键．