Question

如图，D，E是等边△ABC两边上的两个点，且AE=CD，连接BE，与AD交于点P，过点B作BQ⊥AD于Q，
（1）求∠BPD的大小；
（2）若PQ=4，PE=2，求AD的长．

Answer 1

分析：（1）易证△ABD≌△BCE，可得∠BAD=∠CBE，根据∠APE=∠ABE+∠BAD，∠APE=∠BPD，∠ABE+∠CBE=60°，即可求得∠APE=∠ABC，即可解题；
（2）由（1）中∠BPD=60°，可得∠PBQ=30°，在Rt△BPQ中，由PQ的长可得BP的长，再由线段的转化，即可求解．

解答：解：（1）∵CD=AE，∴BD=CE，
在△ABD和△BCE中，

AB=BC ∠ABD=∠BCE BD=CE

，
∴△ABD≌△BCE（SAS），
故∠BAD=∠CBE，
∵∠APE=∠ABE+∠BAD，∠APE=∠BPD，∠ABE+∠CBE=60°，
∴∠BPD=∠APE=∠ABC=60°，即∠BPD的度数为60°；

（2）在Rt△BPQ中，∠BPQ=60°，
∴∠PBQ=30°，
∵PQ=4，
∴BP=2PQ=8，
又∵PE=2，
∴BE=BP+PE=10．
∵由（1）知，△ABD≌△BCE，
∴AD=BE=10．

点评：本题考查了等边三角形各内角为60°的性质，考查了全等三角形的证明，考查了全等三角形对应角相等的性质，本题中求证∠APE=∠ABC是解题的关键．