Question

【题目】如图1，在中，，，点是上一点，过点作于点，连接，，点，分别是，的中点，连接.

（1）问题发现

图1中，线段与线段之间的数量关系为_____________；

（2）类比探究

将绕点顺时针旋转到图2的位置，连接，.试问（1）中的结论是否仍然成立？请判断并说明理由；

（3）问题解决

若，将绕点在平面内顺时针旋转，请直接写出线段的最大值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）结论成立，证明详见解析；（3）的最大值为4.

【解析】

（1）如图1，取的中点P，连接，，先根据三角形中位线定理得，，，进一步即得，再证明为等腰直角三角形，即可得到与之间的数量关系；

（2）类似（1）的证法，取的中点，连接，，如图2，先根据两边成比例且夹角相等证明∽，从而得出，；再结合三角形中位线定理和平行线的性质得出∠NPM=45°，，进而可得为等腰直角三角形，问题即得解决；

（3）如图3，由题意可知点在以为圆心、为半径的圆上运动，显然当C、A、E三点共线且C、E在点A的两侧时CE最大，求出CE的最大值后，由（2）的结论即得MN的最大值.

解：（1）关系为：.

证明：如图1，设点为的中点，连接，.

∵点，分别是，的中点，

∴由三角形中位线定理可得，，

且.

由已知可得，所以.

过点作于点.

则△PNH是等腰直角三角形，∴HP=HN=PN，

又∵，

∴.

所以为等腰直角三角形，.

所以.

（2）结论仍然成立.

理由如下：如图2，设的中点为，连接，.

∵和均为等腰直角三角形，

∴，，，

∴，.

∴∽.

∴，.

∵，分别为和的中位线，

∴，且，.

∴，.

∴

=，且.

由（1）的证明知为等腰直角三角形.

∴. ∴.

（3）的最大值为4.

如图3，点在以为圆心、为半径的圆上运动，当C、A、E三点共线且C、E在点A的两侧时CE最大，∵，∴AE=3，所以的最大值=5+3=8.

所以的最大值为4.