Question

在平面直角坐标系中，抛物线y=ax²+bx+3与x轴的两个交点分别为A（-3，0）、B（1，0），过顶点C作CH⊥x轴于点H．
（1）直接填写：a=

 

，b=

 

，顶点C的坐标为

 

；
（2）在y轴上是否存在点D，使得△ACD是以AC为斜边的直角三角形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，说明理由；
（3）若点P为x轴上方的抛物线上一动点（点P与顶点C不重合），PQ⊥AC于点Q，当△PCQ与△ACH相似时，求点P的坐标．

Answer 1

分析：（1）将A（-3，0）、B（1，0），代入y=ax²+bx+3求出即可，再利用平方法求出顶点坐标即可；
（2）首先证明△CED∽△DOA，得出y轴上存在点D（0，3）或（0，1），即可得出△ACD是以AC为斜边的直角三角形．
（3）首先求出直线CA的解析式为y=k₁x+b₁，再利用联立两函数解析式即可得出交点坐标，再利用若点P在对称轴左侧（如图②），只能是△PCQ∽△ACH，得∠PCQ=∠ACH得出答案即可．

解答：解：（1）a=-1，b=-2，顶点C的坐标为（-1，4）；

（2）假设在y轴上存在满足条件的点D，过点C作CE⊥y轴于点E．
由∠CDA=90°得，∠1+∠2=90°．又∠2+∠3=90°，
∴∠3=∠1．又∵∠CED=∠DOA=90°，
∴△CED∽△DOA，∴

CE

ED

=

DO

AO

．
设D（0，c），则

1

4-c

=

c

3

．变形得c²-4c+3=0，解之得c₁=3，c₂=1．
综合上述：在y轴上存在点D（0，3）或（0，1），
使△ACD是以AC为斜边的直角三角形．

（3）①若点P在对称轴右侧（如图①），只能是△PCQ∽△CAH，得∠QCP=∠CAH．
延长CP交x轴于M，∴AM=CM，∴AM²=CM²．
设M（m，0），则（m+3）²=4²+（m+1）²，∴m=2，即M（2，0）．
设直线CM的解析式为y=k₁x+b₁，
则

-k1+b1=4 2k1+b1=0

，解之得k1=-

4

3

，b1=

8

3

．
∴直线CM的解析式y=-

4

3

x+

8

3

．
联立

y=- 4 3 x+ 8 3 y=-x2-2x+3

，解之得

x= 1 3 y= 20 9

或

x=-1 y=4

（舍去）．
∴P(

1

3

，

20

9

)．
②若点P在对称轴左侧（如图②），只能是△PCQ∽△AHC，得∠PCQ=∠ACH．
过A作CA的垂线交PC于点F，作FN⊥x轴于点N．
由△CFA∽△CAH得

CA

AF

=

CH

AH

=2，
由△FNA∽△AHC得

FN

AH

=

NA

HC

=

AF

CA

=

1

2

．
∴AN=2，FN=1，CH=4，HO=1，则AH=2，
∴点F坐标为（-5，1）．
设直线CF的解析式为y=k₂x+b₂，则

-k2+b2=4 -5k2+b2=1

，
解之得k2=

3

4

，b2=

19

4

．
∴直线CF的解析式y=

3

4

x+

19

4

．
联立

y= 3 4 x+ 19 4 y=-x2-2x+3

，解之得

x=- 7 4 y= 55 16

或

x=-1 y=4

（舍去）．
∴P(-

7

4

，

55

16

)．
∴满足条件的点P坐标为(

1

3

，

20

9

)或(-

7

4

，

55

16

)．

点评：此题主要考查了二次函数的综合应用以及相似三角形的应用，二次函数的综合应用是初中阶段的重点题型，特别注意利用数形结合是这部分考查的重点，也是难点，同学们应重点掌握．