题目内容

如图，已知抛物线的顶点坐标为M（1，4），且经过点N（2，3），与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式及点A、B、C的坐标；
（2）直线AN交y轴于点F，P是抛物线的对称轴x=1上动点，H是X轴上一动点，请探索：是否存在这样的P、H，使四边形CFHP的周长最短？若存在，请求出四边形CFHP的最短周长和点P、H的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）若点Q是∠MDB的角平分线上动点，点R是线段DB上的动点，Q、R在何位置时，BQ+QR的值最小．请直接写出BQ+QR的最小值和Q、R的坐标．

解：（1）依题意设所求抛物线的解析式为：
y=k（x-1）²+4，
因为抛物线经过点N（2，3），
∴3=k（2-1）²+4，
解得：k=-1，
∴所求抛物线为y=-（x-1）²+4，
即y=-x²+2x+3令y=0，即-x²+2x+3=0，
解得：x₁=3，x₂=-1，
所以，A，B，C三点的坐标分别是：A（-1，0），B（3，0），C（0，3）；

（2）解：如图1，连接AN交y轴于F点，
可求得直线AN的解析式为：y=x+1，
即点F的坐标为：F（0，1）
过点F作关于x轴的对称点G，即G（0，-1）
连接CN，再连接NG交对称轴于P，H，
∴CF+FH+PH+PC=CF+GN= $\text{[math]}$
即四边形CFHP的最短周长为 $\text{[math]}$
此时直线GN的解析式为：y=2x-1
所以存在点H的坐标为 $\text{[math]}$ ，点P的坐标为P（1，1）；

（3）如图2，
作∠MDB的平分线DG，连接BC，交DG于点Q，点C关于DG的对称点R落在x轴上，
此时QB+QR=BC，

由直线DM的解析式：y=x+3，
所以点D的坐标为：D（-3，0），
所以DB=6，∠BCD=90°，
所以BC=DC=6× $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
所以，BQ+QR的最小值为 $\text{[math]}$ ，
由对称关系可得：DR=DC= $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ，连接QR，
此时QR⊥DR，
∴ $\text{[math]}$ ，
所以，R，Q点的坐标为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
分析：（1）利用顶点式求出二次函数解析式即可，再利用图象与坐标轴交点求法得出即可；
（2）利用轴对称得出F的对称点G，连接GN即可得出P点位置，利用轴对称的性质得出CF+FH+PH+PC=CF+GN进而得出答案即可；
（3）首先求出BC=DC的长度，再利用轴对称性质得出BQ+QR的最小值为 $\text{[math]}$ ，进而得出Q，R的坐标．
点评：此题主要考查了顶点式求二次函数解析式和利用轴对称求最小值问题等知识，利用数形结合得出R点位置是解题关键．