Question

如图，⊙O的半径为5cm， AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C的直线与AB的延长线交于点P，AC=PC，∠COB=2∠PCB.

   (1)求证：PC是⊙O的切线；（4分）

(2)求线段BC的长度.（4分）

 

Answer 1

 

（1）证明略

（2）5cm

解析:(1)证明：在⊙O中，∠COB=2∠CAB，OA=OC

        ∵OA=OC，∴∠CAB=∠ACO，∴∠COB=2∠ACO    ————1分

        又∵∠COB=2∠PCB，∴∠PCB=∠ACO

        ∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，

        即∠ACO+∠OCB＝90°

        ∴∠PCB+∠OCB＝90°，即∠OCP＝90°       ————2分

        ∴OC⊥CP

        ∴PC是⊙O的切线                         ————1分

(2)解：∵⊙O的半径为5cm， AB是⊙O的直径，∴AB＝10cm， ——1分

      ∵AC=PC，∴∠A＝∠P，

      ∵∠COB＝2∠A，∴∠COB＝2∠P

      又∵∠OCP＝90°，∴∠COB+∠P＝90°，

       ∴∠P＝30°，

∴∠A＝30°，                          —————2分

又∵∠ACB=90°，

∴CB＝AB＝5cm.              —————1分