Question

如图①，AB为⊙O的直径，AD与⊙O相切于点A，DE与⊙O相切于点E，点C为DE延长线上一点，且CE=CB。

（1）求证：BC为⊙O的切线；
（2）如图②，连接AE，AE的延长线与BC的延长线交于点G。若，求线段BC和EG的长。

Answer 1

（1）连接OE，OC，先根据“SSS”证得△OBC≌△OEC，即可得到∠OBC=∠OEC，再根据切线的性质可得∠OEC=90，即可得到∠OBC=90，从而证得结果；（2）BC=，

试题分析：（1）连接OE，OC，先根据“SSS”证得△OBC≌△OEC，即可得到∠OBC=∠OEC，再根据切线的性质可得∠OEC=90，即可得到∠OBC=90，从而证得结果；
（2）过点D作DF⊥BC于点F，根据切线的性质可得DA=DE，CE=CB，设BC为，则CF=x-2，DC=x+2，在Rt△DFC中，根据勾股定理即可列方程求得x的值，根据平行线的性质可得∠DAE=∠EGC，由DA=DE可得∠DAE=∠AED，再结合∠AED=∠CEG即可求得CG=CE=CB=，再根据勾股定理求得AG的长，然后证得△ADE∽△GCE，根据相似三角形的性质即可求得结果.
（1）连接OE，OC，
 
∵CB=CE，OB=OE，OC=OC，
∴△OBC≌△OEC，
∴∠OBC=∠OEC，
又∵与DE⊙O相切于点E，
∴∠OEC=90，
∴∠OBC=90，
∴BC为⊙的切线；
（2）过点D作DF⊥BC于点F，

∵AD，DC，BG分别切⊙O于点A，E，B，
∴DA=DE，CE=CB，设BC为，则CF=x-2，DC=x+2，
在Rt△DFC中，，解得，
∵AD∥BG
∴∠DAE=∠EGC，
∵DA=DE
∴∠DAE=∠AED，
∵∠AED=∠CEG，
∴∠ECG=∠CEG。
∴CG=CE=CB=
∴BG=5，
∴
∵∠DAE="∠EGC" ，∠AED=∠CEG
∴△ADE∽△GCE，
∴，，解得.
点评：本题知识点多，综合性强，难度较大，一般是中考压轴题，需仔细分析.