Question

在△ABC中，D为AB的中点，分别延长CA、CB到点E、F，使DE=DF，过E、F分别作CA、CB的垂线相交于P，设线段PA、PB的中点分别为M、N．
求证：①△DEM≌△DFN；
②∠PAE=∠PBF．

Answer 1

分析：①要证△DEM≌△DFN，由D、M、N分别是AB、AP、BP的中点，所以DM=

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BP，DN=

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AP，再有过E、F分别作CA、CB的垂线相交于P，
所以EM=

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AP=DN，FN=

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BP=DM．又DE=DF所以△DEM≌△DFN．
②由①得∠EMD=∠FND，由∠AMD=∠BND=∠APB所以∠AME=∠BNF，那么∠PAE=

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（180°-∠AME），∠PBF=

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（180°-∠BNF），即∠PAE=∠PBF．

解答：证明：①如图，在△ABP中，
∵D、M、N分别是AB、AP、BP的中点，
∴DM=

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BP，DN=

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AP，
又∵PE⊥AE，BF⊥PF
∴EM=

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AP=DN，FN=

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BP=DM，
∵DE=DF
∴△DEM≌△DFN（SSS）；

②∵由①结论△DEM≌△DFN可知∠EMD=∠FND，
∵DM∥BP，DN∥AP，
∴∠AMD=∠BND=∠APB，
∴∠AME=∠BNF
又∵PE⊥AE，BF⊥PF，
∴△AEP和△BFP都为直角三角形，
又M，N分别为斜边PA与PB的中点，
∴AM=EM=

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AP，BN=NF=

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BP，
∴∠MAE=∠MEA，∠NBF=∠NFB，
∴∠PAE=

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（180°-∠AME），∠PBF=

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（180°-∠BNF）．
即∠PAE=∠PBF，

点评：此题考查了线段之间的关系，和全等三角形的判定和性质，同学们应该熟练掌握．