Question

在矩形ABCD中，点O在对角线BD上，以OD为半径的⊙O与AD、BD分别交于点E、F，且∠ABE=∠DBC.
 
（1）求证：BE与⊙O相切；
（2）若，CD=2，求⊙O的半径.

Answer 1

（1）连接OE，根据矩形的性质可得AD∥BC，∠C=∠A=90°，即可得到∠3=∠DBC，∠ABE+∠1=90°，再结合OD=OE，∠ABE=∠DBC可得∠2=∠3=∠ABE，从而可以证得结论；（2）

解析试题分析：（1）连接OE，根据矩形的性质可得AD∥BC，∠C=∠A=90°，即可得到∠3=∠DBC，∠ABE+∠1=90°，再结合OD=OE，∠ABE=∠DBC可得∠2=∠3=∠ABE，从而可以证得结论；
（2）由∠ABE =∠DBC可得，即可求得DB的长，再根据勾股定理求得DE的长，
连接EF，根据圆周角定理可得∠DEF=∠A=90°，再证得∽，根据相似三角形的性质即可求得结果.
（1）连接OE

∵四边形ABCD是矩形
∴AD∥BC，∠C=∠A=90°
∴∠3=∠DBC，∠ABE+∠1=90°
∵OD=OE，∠ABE=∠DBC
∴∠2=∠3=∠ABE
∴∠2+∠1=90°
∴∠BEO=90°
∵点E在⊙O上
∴BE与⊙O相切；
（2）∵∠ABE =∠DBC
∴
∵DC=2，∠C=90°
∴DB=6
∵∠A=90°
∴BE=3AE  
∵AB=CD=2
利用勾股定理，得，
∴
连接EF  

∵DF是⊙O的直径，
∴∠DEF=∠A=90°
∴AB∥EF
∴∽ 
∴ 
∴
∴
∴⊙O的半径为.
考点：矩形的性质，切线的判定，正弦，勾股定理，圆周角定理，相似三角形的判定和性质
点评：解答本题的关键是熟练掌握切线垂直于经过切点的半径；相似三角形的对应边成比例，注意对应字母在对应位置上.