Question

如图，在△ABC中，∠C=90°，AC+BC=8，∠ACB的平分线交AB于点O，以O为圆心的⊙O与AC相切于点D．
（1）求证：⊙0与BC相切；
（2）当AC=2时，求⊙O的半径．

Answer 1

分析：（1）要证⊙0与BC相切，只要证明点O到BC的距离等于圆的半径即可，作出点O到BC的距离，利用角平分线的性质可以进行证明；
（2）由AC=2，AC+BC=8可求出BC，观察图形发现S_△ABC=S_△AOC+S_△BOC，可利用面积法求得圆的半径．

解答：解：（1）过点O作OF⊥BC，垂直为F，连接OD，
∵AC是圆的切线，
∴OD⊥AC，
又OC为∠ACB的平分线，
∴OF=OD，
∴BC与⊙0相切；

（2）由（1）知BC与⊙0相切，
∵D、F为切点，
∴OD⊥AC，OF⊥BC，OD=OF，
S_△ABC=S_△AOC+S_△BOC
=

1

2

AC•BC=

1

2

AC•OD+

1

2

BC•OF
∵AC+BC=8，AC=2，
∴BC=6，
∴

1

2

×2×6=

1

2

×2×OD+

1

2

×6×OF，
而OD=OF．
∴OD=

3

2

，
即⊙O的半径为

3

2

．

点评：本题考查了切线的判定及性质；利用等积法求圆的半径是很巧妙的方法，也比较重要，希望同学们认真掌握．