Question

14、设p是大于3的质数，求证：24|（p²-1）．

Answer 1

分析：p²-1=（p-1）（p+1），因为p-1，p，p+1为三个连续自然数，其中必定有一个是3的倍数，而p是质数，可知p-1，p+1中有一个是3的倍数，且都是偶数，其中必定有一个是4的倍数，而24=2³×3，故可证结论．

解答：证明：∵p²-1=（p-1）（p+1），而p-1，p，p+1为三个连续自然数，
∴三个数中必定有一个是3的倍数，
而p是质数，
∴p-1，p+1中必有一个是3的倍数，
且都是偶数，其中必定有一个是4的倍数，
而24=2³×3，
∴24|（p²-1）．

点评：本题考查了数的整除性．关键是利用因式分解得出三个连续自然数进行分析，证明结论．