Question

【题目】综合与实践

问题情境

在中，，，于点，点是射线上一点，连接，过点作于点，且交直线于点.

（1）如图1，当点在线段上时，求证：.

自主探究

（2）如图2，当点在线段上时，其它条件不变,请猜想与之间的数量关系，并说明理由.

拓展延伸

（3）如图3，当点在线段的延长线上时，其它条件不变,请直接写出与之间的数量关系.

Answer 1

【答案】(1)证明见解析；(2)；证明见解析；(3).

【解析】

（1）根据等腰直角三角形的性质得到∠A=∠ABC，根据同角的余角相等得到∠CBG=∠ACE，根据ASA公理证明△ACE≌△CBG；
（2）同理即可证明△ACE≌△CBG；
（3）CG=AE.

解：（1）在Rt△ABC中，
∵AC=BC，
∴∠A=∠ABC=45°．
∵点D是AB的中点，
∴∠BCG=∠ACB=45°，
∴∠A=∠BCG．
∵BF⊥CE，
∴∠CBG+∠BCF=90°．
∵∠ACE+∠BCF=90°，
∴∠CBG=∠ACE，
在△ACE和△CBG中，

,

∴△ACE≌△CBG；
（2）结论仍然成立，即△ACE≌△CBG．
理由如下：在Rt△ABC中，
∵AC=BC，
∴∠A=∠ABC=45°．
∵点D是AB的中点，
∴∠BCG=∠ACB=45°，
∴∠A=∠BCG．
∵BF⊥CE，
∴∠CBG+∠BCF=90°．
∵∠ACE+∠BCF=90°，
∴∠CBG=∠ACE，
∴△ACE≌△CBG；

（3）CG=AE.