Question

【题目】在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝x2+bx+c经过点A（﹣4，0）和B（2，6），其顶点为D．

（1）求此抛物线的表达式；

（2）求△ABD的面积；

（3）设C为该抛物线上一点，且位于第二象限，过点C作CH⊥x轴，垂足为点H，如果△OCH与△ABD相似，求点C的坐标．

Answer 1

【答案】（1）y＝x2+2x；（2）12；（3）点H的坐标为（﹣10，30）或（﹣，）

【解析】

（1）将点A、B的坐标代入抛物线表达式，即可求解；

（2）利用两点间的距离公式：得AB，AD，BD的值，从而得BD2＝AB2+AD2，则△ABD为直角三角形，△ABD的面积＝AB×AD，即可求解；

（3）由△OCH与△ABD相似，得tan∠COH＝tan∠ABD或tan∠ADB，即tan∠COH＝＝或3，进而即可求解．

（1）将点A、B的坐标代入抛物线表达式得：，解得：，

∴抛物线的表达式为：y＝x2+2x；

（2）对于y＝x2+2x，顶点D(﹣2，﹣2)，

∴AD＝，

同理：AB＝6，BD＝4，

∴BD2＝AB2+AD2，

∴△ABD为直角三角形，

∴△ABD的面积＝AB×AD＝×6×2＝12；

（3）在△ABD中，tan∠ABD＝，

∵△OCH与△ABD相似，

∴tan∠COH＝tan∠ABD或tan∠COH＝tan∠ADB，

即：tan∠COH＝或3，

设点C(m，m2+2m)，则tan∠COH＝＝或3，

解得：m＝﹣10或﹣（不合题意的值已舍去），

∴点H的坐标为(﹣10，30)或(﹣，)．