Question

如图，⊙O的半径为1，等腰Rt△ABC的顶点B的坐标为（，0），CAB=90°，AC=AB，顶点A在⊙O上运动．

（1）当点A在x轴上时，求点C的坐标；

（2）当点A运动到x轴的负半轴上时，试判断直线BC与⊙O位置关系，并说明理由；

（3）设点A的横坐标为x，△ABC的面积为S，求S与x之间的函数关系式，并求出S的最大值与最小值；

（4）当直线AB与⊙O相切时，求AB所在直线对应的函数关系式．

 

备用图                 备用图

Answer 1

 解：（1）

当点A的坐标为（1，0）时，AB=AC=－1，点C的坐标为（1，－1）；

当点A的坐标为（－1，0）时，AB=AC=＋1，点C的坐标为（－1，＋1）；

（2）直线BC与⊙O相切，过点O作OM⊥BC于点M，∴∠OBM＝∠BOM=45°,

∴OM=OB·sin45°=1，∴直线BC与⊙O相切

（3）过点A作AE⊥OB于点E

在Rt△OAE中，AE²=OA²－OE²=1－x²，

在Rt△BAE中，AB²=AE²+BE²=(1-x²) +（-x）²=3-2x

∴S=AB·AC= AB²=(3-2x)=

其中－1≤x≤1，

当x=－1时，S的最大值为，

当x=1时，S的最小值为．

（4）①当点A位于第一象限时(如右图)：

连接OA，并过点A作AE⊥OB于点E

∵直线AB与⊙O相切，∴∠OAB=90°，

又∵∠CAB=90°，∴∠CAB

+∠OAB=180°，

∴点O、A、C在同一条直线上，∴∠AOB=∠C=45°，0

在Rt△OAE中，OE=AE=．点A的坐标为（，）

过A、B两点的直线为y=－x+．

②当点A位于第四象限时(如右图)

点A的坐标为（，－），过A、B两点的直线为y=x－．