Question

【题目】在直角三角形中，除直角外的5个元素中，已知2个元素（其中至少有1个是边），就可以求出其余的3个未知元素.对于任意三角形，我们需要知道几个元素就可以求出其余的未知元素呢？思考并解答下列问题：

（1）观察图①~图④，根据图中三角形的已知元素，可以求出其余未知元素的序号是____.

（2）如图⑤，在中，已知，，，能否求出BC的长度？如果能，请求出BC的长度；如果不能，请说明理由.（参考数据：，，）

Answer 1

【答案】（1）③④；（2）能，BC=.

【解析】

（1）①只有一个角和一条边不能求出其它元素；②只有三个角，没有已知边，不能求出其它三条边；③知道两个角和一条边，作出相应辅助线，利用三角形内角和定理、锐角三角函数及勾股定理可求出其它元素；④知道两个角和一条边，作出相应辅助线，利用三角形内角和定理、锐角三角函数及勾股定理可求出其它元素；综上即可得答案；

（2）作CD⊥AB于D，利用∠A的正弦和余弦可求出CD和AD的长，进而可求出BD的长，利用勾股定理即可求出BC的长.

（1）①只有一个角和一条边不能求出其它元素；

②只有三个角，没有已知边，不能求出其它三条边；

③如图，作CD⊥AB于D，

∵∠A=37°，∠B=60°，

∴∠ACB=180°-37°-60°=83°，

设AC=x，

∵∠A=37°，CD⊥AB，

∴CD=AC·sin37°=0.6x，AD=0.8x，

∵AB=12，

∴BD=12-x，

∵∠B=60°，

∴tan60°==，即，

解得：x=，即AC=.

∴BC===.

④如图，作CD⊥AB于D，

∵∠A=37°，∠B=60°，

∴∠ACB=180°-37°-60°=83°，

∵∠A=37°，CD⊥AB，AC=10，

∴CD=AC·sin37°=6，AD=AC·cos37°=8，

∵∠B=60°，

∴tan60°==，

∴BD=2，

∴AB=AD+BD=8+2，BC==4.

综上所述：可以求出其余未知元素是③④，

故答案为：③④

（2）如图，作CD⊥AB于D，

∴∠ADC=90°，

∵AC=10，∠A=37°，

∴CD=AC·sin37°=10×0.6=6，AD=AC·cos37°=10×0.8=8，

∵AB=12，

∴BD=12-8=4，

∴BC===.

∴能求出BC的长，BC=.