题目内容

如图，E是正方形ABCD的边AB上的动点，EF⊥DE交BC于点F．
（1）求证：△ADE∽△BEF；
（2）设正方形的边长为4，AE=x，BF=y．请用x的代数式表示y．
（3）在条件（2）下，当E点在AB上运动到什么位置时，△ADE∽△EDF．
分析：（1）根据正方形的性质可得∠A=∠B，再根据同角的余角相等求出∠1=∠3，然后利用两组角对应相等，两三角形相似证明；
（2）表示出BE，然后根据相似三角形的列式整理即可得解；
（3）由△ADE∽△EDF得
AD
AE
=
DE
EF
，再根据△ADE∽△BEF可得
DE
EF
=
AD
BE
，然后代入数据进行计算即可得解．
解答：（1）证明：在正方形ABCD中，∠A=∠B=90°，
∵EF⊥DE，
∴∠2+∠3=180°-90°=90°，
又∵∠1+∠2=180°-90°=90°，
∴∠1=∠3，
∴△ADE∽△BEF；

（2）解：∵正方形ABCD的边长为4，AE=x，
∴BE=4-x，
∵△ADE∽△BEF，
∴
AD
BE
=
AE
BF
，
即
4
4-x
=
x
y
，
∴y=-
1
4
x2+x；

（3）解：∵△ADE∽△EDF，
∴
AD
AE
=
DE
EF
，
∵△ADE∽△BEF，
∴
DE
EF
=
AD
BE
，
∴
AD
AE
=
AD
BE
，
∴AE=BE，
∴点E为AB的中点，
故，当E点在AB上运动到AB的中点位置时，△ADE∽△EDF．
点评：本题考查了相似三角形的判定与性质，正方形的性质，主要涉及相似三角形对应边成比例的性质，找出三角形相似的条件并熟记相似三角形的性质是解题的关键，用阿拉伯数字加弧线表示角更形象直观．
练习册系列答案
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精英家教网如图，E是正方形ABCD对角线AC上一点，EF⊥AB，EG⊥BC，F、G是垂足，若正方形ABCD周长为a，则EF+EG等于（　　）
A、
1
4
a
B、
1
2
a
C、a
D、2a
如图①，已知△ABC中，AB=AC，点P是BC上的一点，PN⊥AC于点N，PM⊥AB于点M，CG⊥AB于点G点．
（1）则CG、PM、PN三者之间的数量关系是
 
；
（2）如图②，若点P在BC的延长线上，则PM、PN、CG三者是否还有上述关系，若有，请说明理由，若没有，猜想三者之间又有怎样的关系，并证明你的猜想；
（3）如图③，AC是正方形ABCD的对角线，AE=AB，点P是BE上任一点，PN⊥AB于点N，PM⊥AC于点M，猜想PM、PN、AC有什么关系；（直接写出结论）
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22、如图，ABCD是正方形，P是对角线BD上一点，过P点作直线EF、GH分别平行于AB、BC，交两组对边于E、F、G、H，则四边形PEDG，四边形PHBF都是正方形，四边形PEAH、四边形PGCF都是矩形，设正方形PEDG的边长是a，正方形PHBF的边长是b． 请动手实践并得出结论：
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2
，0），动点P、Q同时从点O出发，点P沿着折线OACB的方向运动；点Q沿着折线OBCA的方向运动，设运动时间为t．
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2
时，请求出直线PQ的解析式．
（3）若点P的运动速度为每秒1个单位长度，点Q的运动速度为每秒2个单位长度精英家教网，两点运动到相遇停止．设△OPQ的面积为S．请求出S关于t的函数关系式以及自变量t的取值范围．
（4）判断在（3）的条件下，当t为何值时，△OPQ的面积最大？
如图，AC是正方形ABCD的对角线，点O是AC的中点，点Q是AB上一点，连接CQ，DP⊥CQ于点E，交BC于精英家教网点P，连接OP，OQ；
求证：
（1）△BCQ≌△CDP；
（2）OP=OQ．

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