Question

【题目】阅读下面材料：

小明遇到这样一个问题：如图1，在边长为的正方形ABCD各边上分别截取AE=BF=CG=DH=1，当∠AFQ=∠BGM=∠CHN=∠DEP=45°时，求正方形MNPQ的面积。

小明发现：分别延长QE、MF、NG、PH交FA、GB、HC、ED的延长线于点R、S、T、W可得△RQF、△SMG、△TNH、△WPE是四个全等的等腰直角三角形（如图2）

请回答：

（1）若将上述四个等腰直角三角形拼成一个新的正方形（无缝隙，不重叠），则这个新的正方形的边长为__________；

（2）求正方形MNPQ的面积.

参考小明思考问题的方法，解决问题：

如图3，在等边△ABC各边上分别截取AD=BE=CF，再分别过点D、E、F作BC、AC、AB的垂线，得到等边△RPQ，若，则AD的长为__________.

Answer 1

【答案】(1)a(2)2(3)

【解析】

试题（1）四个等腰直角三角形的斜边长为a,其拼成的正方形面积为a2,边长为a；

（2）如题图2所示,正方形MNPQ的面积等于四个虚线小等腰直角三角形的面积之和,据此求出正方形MNPQ的面积；

（3）参照小明的解题思路,对问题做同样的等积变换．如答图1所示,三个等腰三角形△RSF,△QET,△PDW的面积和等于等边三角形△ABC的面积,故阴影三角形△PQR的面积等于三个虚线等腰三角形的面积之和．据此列方程求出AD的长度．

试题解析：（1）四个等腰直角三角形的斜边长为a,则斜边上的高为a,

每个等腰直角三角形的面积为：aa=a2,

则拼成的新正方形面积为：4×a2=a2,即与原正方形ABCD面积相等,

∴这个新正方形的边长为a；

（2）∵四个等腰直角三角形的面积和为a2,正方形ABCD的面积为a2,

∴S正方形MNPQ=S△ARE+S△DWH+S△GCT+S△SBF=4S△ARE=4××12=2；

（3）如答图1所示,分别延长RD,QF,PE,交FA,EC,DB的延长线于点S,T,W．

由题意易得：△RSF,△QET,△PDW均为底角是30°的等腰三角形,其底边长均等于△ABC的边长．

不妨设等边三角形边长为a,则SF=AC=a．

如答图2所示,过点R作RM⊥SF于点M,则MF=SF=a,

在Rt△RMF中,RM=MFtan30°=a×=a,

∴S△RSF=aa=a2．

过点A作AN⊥SD于点N,设AD=AS=x,

则AN=ADsin30°=x,SD=2ND=2ADcos30°=x,

∴S△ADS=SDAN=xx=x2．

∵三个等腰三角形△RSF,△QET,△PDW的面积和=3S△RSF=3×a2=a2,

∴S△RPQ=S△ADS+S△CFT+S△BEW=3S△ADS,

∴=3×x2,得x2=,

解得x=或x=（不合题意,舍去）

∴x=,即AD的长为．