题目内容

在矩形OABC中，OA=8，OC=6，以矩形OABC的两边OA和OC所在直线为坐标轴建立直角坐标系，点A，C分别在x轴和y轴的正半轴上．抛物线y=-
1
6
x2+bx+c经过B，C两点．
（1）求b，c的值；
（2）如图1，若点M（x，y）是第一象限中抛物线y=-
1
6
x2+bx+c上一点，连接AM，MC，设四边形OAMC的面积为S，求S关于x的函数关系式，并回答：x为何值时S取得最大值？
（3）如图2，动点P从点A出发，沿折线A→B→C运动，到达点C时停止．问：能否在抛物线y=-
1
6
x2+bx+c上找到点D，使得以P，D，C为顶点的三角形是等腰直角三角形？如果能，请求出D点坐标；如果不能，请说明理由．
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分析：（1）由矩形的性质得B（8，6），C（0，6），代入y=-
1
6
x2+bx+c中，列方程组求b、c的值；
（2）过M点作MN⊥x轴，垂足为N，将四边形OAMC的面积分为直角梯形和三角形的面积求解，根据二次函数的性质求S的最大值；
（3）能．分为P在AB上，P在CD上，两种情况，以CP为等腰直角三角形的直角边或斜边，根据等腰直角三角形的性质，求满足条件的D点坐标．
解答：精英家教网解：（1）依题意，得B（8，6），C（0，6），
代入y=-
1
6
x2+bx+c中，得
-
64
6
+8b+c=6
c=6
，
解得b=
4
3
，c=6；（4分）

（2）过M点作MN⊥x轴，垂足为N，由（1）可知M（x，-
1
6
x2+
4
3
x+6），
∴s=S梯形CMNO+S△AMN=
1
2
（6-
1
6
x2+
4
3
x+6）•x+
1
2
（-
1
6
x2+
4
3
x+6）•（8-x）=-
2
3
x2+
25
3
x+12，（3分）
当x=
25
4
时s取得最大值．（1分）

（3）如图，又△CPD为等腰直角三角形，
当P点在AB上时，若CP为斜边，
则D1（6，8），若CP为直角边，则D2 （-4，-2），
当P点在BC上时，若CP为直角边或斜边时，D3 （2，8）．
即D1（6，8）或D2 （-4，-2）或D3 （2，8）．
点评：本题考查了二次函数的综合运用．关键是根据题意求抛物线解析式，用解析式表示M点纵坐标，利用点的坐标表示图形的面积，形数结合求解．
练习册系列答案
相关题目
精英家教网把矩形纸片OABC放人直角坐标系中，使OA、OC分别落在x轴和y轴的正半轴上．
（1）将纸片OAB C折叠，使点A与C重合，用直尺和圆规在原图上作出折叠后的图形，并在图中标明折叠后点B的对应点B’（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）在矩形OABC中，连接AC，且AC=2
5
，tan∠OAC=
1
2
，求A、C两点的坐标；并求（1）中折痕的长．
如图，在矩形OABC中，AB∥x轴．函数y=
1x
(x＞0)的图象分别交AB、BC边于P、Q两点，且P是精英家教网AB的中点，设点P的横坐标为a．
（1）用含a的代数式表示点Q的坐标．
（2）试说明点Q是BC的中点．
（2012•襄阳）如图，在矩形OABC中，AO=10，AB=8，沿直线CD折叠矩形OABC的一边BC，使点B落在OA边上的点E处．分别以OC，OA所在的直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系，抛物线y=ax2+bx+c经过O，D，C三点．
（1）求AD的长及抛物线的解析式；
（2）一动点P从点E出发，沿EC以每秒2个单位长的速度向点C运动，同时动点Q从点C出发，沿CO以每秒1个单位长的速度向点O运动，当点P运动到点C时，两点同时停止运动．设运动时间为t秒，当t为何值时，以P、Q、C为顶点的三角形与△ADE相似？
（3）点N在抛物线对称轴上，点M在抛物线上，是否存在这样的点M与点N，使以M，N，C，E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M与点N的坐标（不写求解过程）；若不存在，请说明理由．
如图，在矩形OABC中，点O为原点，点A的坐标为（0，8），点C的坐标为（6，0）．抛物线y=-
4
9
x2+bx+c经过点A、C，与AB交于点D．
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）点P为线段BC上一个动点（不与点C重合），点Q为线段AC上一个动点，AQ=CP，连接PQ，设CP=m，△CPQ的面积为S．
①求S关于m的函数表达式；
②当S最大时，在抛物线y=-
4
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x2+bx+c的对称轴l上，若存在点F，使△DFQ为直角三角形，请直接写出所有符合条件的点F的坐标；若不存在，请说明理由．
（2013•本溪）如图，在矩形OABC中，AB=2BC，点A在y轴的正半轴上，点C在x轴的正半轴上，连接OB，反比例函数y=
k
x
（k≠0，x＞0）的图象经过OB的中点D，与BC边交于点E，点E的横坐标是4，则k的值是（　　）

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