题目内容

矩形纸片ABCD中，AD=12cm，现将这张纸片按下列图示方式折叠，AE是折痕．
（1）如图1，P，Q分别为AD，BC的中点，点D的对应点F在PQ上，求PF和AE的长；
（2）如图2，DP=
1
3
AD，CQ=
1
3
BC，点D的对应点F在PQ上，求AE的长；
（3）如图3，DP=
1
n
AD，CQ=
1
n
BC，点D的对应点F在PQ上．
①直接写出AE的长（用含n的代数式表示）；  ②当n越来越大时，AE的长越来越接近于
 
．
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分析：（1）根据P、Q是矩形ABCD中AD，BC的中点，可得AP=
1
2
AD=
1
2
AF，∠APF=90°，从而可得∠AFP=30°，∠FAD=60°然后利用三角函数值即可求解．
（2）根据DP=
1
3
AD=4，求得FP，利用DE=EF，∠AED=∠AEF，∠AED=∠FGE，求证EF=GF，设DE=x，则GF=x利用△APG∽△ADE的对应边成比例可求的AE．
（3）①可得AE=12
2n
2n-1
，②当n越来越大时，根据AE=12
2n
2n-1
可判定AE的长．
解答：解：（1）∵P、Q是矩形ABCD中AD，BC的中点，
∴AP=
1
2
AD=
1
2
AF，∠APF=90°，
∴∠AFP=30°，
∴PF=
3
×AP=6
3
，
∴∠FAD=60°，
∴∠DAE=
1
2
∠FAD=30°，
∴AE=
AD
cos30°
=8
3
cm，

（2）∵DP=
1
3
AD=4，
∴AP=
2
3
AD=8
∴FP=
122-82
=4
5
，
∵DE=EF，∠AED=∠AEF，∠AED=∠FGE，
∴∠FGE=∠FEG，
∴EF=GF，
设DE=x，则GF=x
∵△APG∽△ADE，
∴
PG
DE
=
AP
AD
，
∴PG=
2
3
x
∴
2
3
x+x=4
5
，
∴x=
12
5
5
，
∴AE=
AD2+DE2
=
12
30
5
；

（3）①可得AE=12
2n
2n-1
，
②∵AE=12
2n
2n-1
，
∴当n越来越大时，AE越来越接近于12．
故答案为：12．
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点评：此题涉及到相似三角形的判定与性质，矩形的性质，翻折变换（折叠问题）等知识点，综合性较强，特别是翻折变换（折叠问题）要求学生应具备一定的空间想象能力，因此此题有一定的拔高难度，属于难题．
练习册系列答案
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精英家教网如图，矩形纸片ABCD中，AB=3cm，BC=4cm，若要在该纸片中剪下两个外切的圆⊙O1和⊙O2，要求⊙O1和⊙O2的圆心均在对角线BD上，且⊙O1和⊙O2分别与BC、AD相切，则O1O2的长为（　　）
A、
5
3
cm
B、
5
2
cm
C、
15
8
cm
D、2cm
精英家教网如图，矩形纸片ABCD中，AD=9，AB=3，将其折叠，使点D与点B重合，折痕为EF，那么折痕EF的长为
 
．
精英家教网如图，在矩形纸片ABCD中，将矩形纸片沿着对角线AC折叠，使点D落在点F处，设AF与BC相交于点E．
（1）试说明△ABE≌△CFE；（2）若AB=6，AD=8，求AE的长．
如图①，矩形纸片ABCD中，AD=14cm，AB=10cm．
（1）将矩形纸片ABCD沿折线AE对折，使AB边与AD边重合，B点落在F点处，如图②所示，再剪去四边形CEFD，余下部分如图③所示，若将余下的纸片展开，则所得的四边形ABEF的形状是
 
，它的面积为
 
cm2；
（2）将图③中的纸片沿折线AG对折，使AF与AE边重合，F点落在H点处．如图④所示，再沿HG将△HGE剪下，余下的部分如图⑤所示，把图⑤的纸片完全展开，请你在图⑥的矩形ABCD中画出展开后图形的示意图，剪去的部分用阴影表示，折痕用虚线表示；
（3）求图④中剪去的△HGE的展开图的面积（结果用含有根式的式子表示）．
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（2013•龙岩）如图①，在矩形纸片ABCD中，AB=
3
+1，AD=
3
．
（1）如图②，将矩形纸片向上方翻折，使点D恰好落在AB边上的D′处，压平折痕交CD于点E，则折痕AE的长为
6
6
；
（2）如图③，再将四边形BCED′沿D′E向左翻折，压平后得四边形B′C′ED′，B′C′交AE于点F，则四边形B′FED′的面积为
3
-
1
2
3
-
1
2
；
（3）如图④，将图②中的△AED′绕点E顺时针旋转α角，得△A′ED″，使得EA′恰好经过顶点B，求弧D′D″的长．（结果保留π）

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