Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中， AB=AC=10，线段BC在轴上，BC=12，点B的坐标为（－3，0），线段AB交轴于点E，过A作AD⊥BC于D，动点P从原点出发，以每秒3个单位的速度沿轴向右运动，设运动的时间为秒．

（1）当△BPE是等腰三角形时，求的值；

（2）若点P运动的同时，△ABC以B为位似中心向右放大，且点C向右运动的速度为每秒2个单位，△ABC放大的同时高AD也随之放大，当以EP为直径的圆与动线段AD所在直线相切时，求的值和此时点C的坐标．

Answer 1

【答案】（1）t=或t=1或t=；（2）当t=1时⊙F与动线段AD所在直线相切，此时C（11，0）．

【解析】

（1）首先求出直线AB的解析式，进而分别利用①当BE＝BP时，②当EB＝EP时，③当PB＝PE时，得出t的值即可；

（2）首先得出△PGF∽△POE，再利用在Rt△EOP中：EP2＝OP2＋EO2，进而求出t的值以及C点坐标．

（1）∵AB=AC，AD⊥BC，

∴BD=CD=6，

∵AB=10，∴AD=8，∴A（3，8），

设直线AB的解析式为：y=kx+b，则，

解得：，

∴直线AB的解析式为：y=x+4，

∴E（0，4），

∴BE=5，

当△BPE是等腰三角形有三种情况：

①当BE=BP时，3+3t=5，解得：t=；

②当EB=EP时，3t=3，解得：t=1；

③当PB=PE时，

∵PB=PE，AB=AC，∠ABC=∠PBE，

∴∠PEB=∠ACB=∠ABC，

∴△PBE∽△ABC，

∴，

∴，解得：t=，

综上：t=或t=1或t=；

（2）由题意得：C（9+2t，0），

∴BC=12+2t，BD=CD=6+t，OD=3+t，

设F为EP的中点，连接OF，作FH⊥AD，FG⊥OP，

∵FG∥EO，

∴△PGF∽△POE，

∴PG=OG=t，FG=EO=2，∴F（t，2），

∴FH=GD=OD﹣OG=3+t﹣t=3﹣t，

∵⊙F与动线段AD所在直线相切，FH=EP=3﹣t，

在Rt△EOP中：EP2=OP2+EO2

∴4（3﹣t）2=（3t）2+16

解得：t1=1，t2=﹣（舍去），

∴当t=1时⊙F与动线段AD所在直线相切，此时C（11，0）．