Question

已知：关于x的方程①x²-（m+2）x+m-2=0有两个符号不同的实数根x₁，x₂，且x₁＞|x₂|＞0；关于x的方程②mx²+（n-2）x+m²-3=0有两个有理数根且两根之积等于2．求整数n的值．

Answer 1

分析：首先对第一个方程进行分析，求出m的取值范围，然后通过第二个方程可知

m2-3

m

=2，求出m的值，再把m的值代入第二个方程，即得△=（n-2）²-8=k²，通过分析，得关于n和k的二元一次方程组，解方程组即可．

解答：解：由方程①知：
∵x₁•x₂＜0，x₁＞|x₂|＞0，
∴x₁＞0，x₂＜0，
∵△=（m-2）²+8＞0，
∴x₁+x₂=m+2＞0，x₁•x₂=m-2＜0，
∴-2＜m＜2，
由方程②知：

m2-3

m

=2，
∴m²-2m-3=0，
∴m=3（舍去），m=-1（2分）
代入②得：x²-（n-2）x+2=0，
∵方程的两根为有理数，
∴△=（n-2）²+8=k²，
∴△=（n-2）²-k²=-8，（n-2+k）（n-2-k）=-8，
∴

n-2+k=4 n-2-k=-2

或

n-2+k=2 n-2-k=-4

，
∴n=5或n=1．

点评：本题主要考查根与系数的关系、根的判别式、解二元一次方程组，关键在于确定m的取值，然后分析出关于n和k的二元一次方程组．