Question

已知：如图，∠ACB=90°，以AC为直径的⊙O交AB于D点，过D作⊙O的切线交BC于E点，EF⊥AB于F点，连OE交DC于P，则下列结论，其中正确的有（　　）
①BC=2DE；     ②OE∥AB；   ③DE=

2

PD；    ④AC•DF=DE•CD．

• A、①②③
• B、①③④
• C、①②④
• D、①②③④

Answer 1

分析：本题是一道利用切线性质解答的有关圆的知识题目，根据已知条件可以对已有的4个结论一一进行求解证明，利用切线长定理可以得到P为中点，利用三角形的中位线得到平行，得到E为中点，得到相应答案，利用三角形相似得到④AC•DF=DE•CD，从而得出答案．

解答：解：∵∠ACB=90°
∴BC是⊙O的切线
∵BC是⊙O的切线
∴OE垂直平分CD，∠OEC=∠OED
∴P是CD的中点
∴OP∥AB，
∴OE∥AB
②正确，
∴E是BC的中点
∵AC是直径
∴∠ADC=90°
∴CD⊥AB
∴∠CDB=90°
∴BC=2DE，①正确；
∵EF⊥AB
∴∠DFE=∠ADC=90°
∵DE=CD，BC是⊙O的切线，
∴DE是⊙O的切线，
∴∠EDF=∠CAD，
∴△ACD∽△EDF
∴

AC

DE

=

CD

DF

∴AC•DF=DE•CD，④正确．
在四边形PDFE中，我们可以证明它是矩形，而不具备证明它是正方形的条件，
∴DE=

PE2+PD2

只有PE=PD时DE才等于

2

PD．
∴③DE=

2

PD不成立
综上所述，正确的是C
故选C

点评：本题考查了圆的切线的性质、圆周角定理，相似三角形的判定与性质，切线长性质及三角形的中位线的运用