Question

【题目】在等腰直角三角形中，，，点在斜边上（），作，且，连接，如图（1）．

（1）求证：；

（2）延长至点，使得，与交于点．如图（2）．

①求证：；

②求证：．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）①见解析；②见解析

【解析】

（1）依据AC=BC，可得∠CAB=∠B=45°，依据AQ⊥AB，可得∠QAC=∠CAB=45°=∠B，即可得到△ACQ≌△BCP；

（2）①依据△ACQ≌△BCP，则∠QCA=∠PCB，依据∠RCP=45°，即可得出∠QCR=45°=∠QAC，根据∠Q为公共角，可得△CQR∽△AQC，即可得到CQ2=QAQR；

②判定△QCH≌△PCH（SAS），即可得到HQ=HP，在Rt△QAH中，QA2+AH2=HQ2，依据QA=PB，即可得到AH2+PB2=HP2．

（1）∵AC=BC，

∴∠CAB=∠B=45°，

又∵AQ⊥AB，

∴∠QAC=∠CAB=45°=∠B，

在△ACQ和△BCP中，

，

∴△ACQ≌△BCP（SAS）；

（2）①由（1）知△ACQ≌△BCP，则∠QCA=∠PCB，

∵∠RCP=45°，

∴∠ACR+∠PCB=45°，

∴∠ACR+∠QCA=45°，即∠QCR=45°=∠QAC，

又∠Q为公共角，

∴△CQR∽△AQC，

∴，

∴CQ2=QAQR；

②如图，连接QH，

由（1）（2）题知：∠QCH=∠PCH=45°，CQ=CP．

又∵CH是△QCH和△PCH的公共边，

∴△QCH≌△PCH（SAS）．

∴HQ=HP，

∵在Rt△QAH中，QA2+AH2=HQ2，

又由（1）知：QA=PB，

∴．