Question

【题目】阅读下列材料，并完成相应任务：

黄金分割

天文学家开普勒把黄金分割称为神圣分割，并指出毕达哥拉斯定理（勾股定理）和黄金分割是几何中的双宝，前者好比黄金，后者堪称珠宝，历史上最早正式在书中使用“黄金分割”这个名称的是欧姆，19世纪以后“黄金分割”的说法逐渐流行起来，黄金分割被广泛应用于建筑等领域．黄金分割指把一条线段分为两部分，使其中较长部分与线段总长之比等于较短部分与较长部分之比，该比值为．用下面的方法（如图①）就可以作出已知线段的黄金分割点：

①以线段为边作正方形，

②取的中点，连接，

③延长到，使，

④以线段为边作正方形，点就是线段的黄金分割点．

以下是证明点就是线段的黄金分割点的部分过程：

证明：设正方形的边长为1，则，

为中点，

，

在中，，

，

，

，

…

任务：

（1）补全题中的证明过程；

（2）如图②，点为线段的黄金分割点，分别以为边在线段同侧作正方形和矩形，连接．求证：；

（3）如图③，在正五边形中，对角线与分别交于点求证：点是的黄金分割点．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）详见解析

【解析】

（1）设正方形ABCD的边长为1，则AB=AD=1，由勾股定理得出，得出，求出，由正方形的性质得出，求出，即可得出结论；

（2）由正方形和矩形的性质得出∠EAB=∠BCD=90°，AC=CD=AE=DE=BF，BC=DF，由点C为线段AB的黄金分割点，得出，因此，即可得出结论；

（3）根据正五边形的性质得到∠DAE=∠DAE，∠ADE=∠AEM=36°，推出△AME∽△AED，根据相似三角形的性质得到∴AE：AD=AM：AE，得到AE2=ADAM，等量代换即可得到结论．

（1）证明：设正方形ABCD的边长为1，则AB=AD=1，

∵E为AD中点，

∴AE=，

∴在Rt△BAE中，

∵EF=BE

∴

∴，

∵四边形AFGH是正方形，

∴，

∴，

∴点H是线段AB的黄金分割点；

（2）证明：∵四边形ACDE是正方形，四边形CBFD是矩形，

∴∠EAB=∠BCD=90°，AC=CD=AE=DE=BF，BC=DF，

∵点C为线段AB的黄金分割点，

∴，

∴，

∴△EAB∽△BCD；

（3）证明：∵五边形ABCDE是正五边形，

∴∠BAE=∠AED=（5-2）×180°=108°，AB=AE=DE，

∴∠ABE=∠AEM=∠DAE=∠ADE=（180°-108°）=36°，

∵∠DAE=∠DAE，∠ADE=∠AEM=36°，

∴△AME∽△AED，

∴AE：AD=AM：AE，

∴AE2=ADAM，

∵AE=DE=DM，/span>

∴DM2=ADAM，

∴点M是AD的黄金分割点．