Question

（2013•惠安县质检）如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的两边分别在x轴和y轴上，OA=8，OC=4．现有两动点P、Q分别从O、C同时出发，点P在线段OA上沿OA方向以每秒2个单位长的速度匀速运动，点Q在线段CO上沿CO方向以每秒1个单位长的速度匀速运动．设运动时间为t秒．
（1）填空：OP=

2t

，OQ=

4-t

；（用含t的式子表示）
（2）试证明：四边形OPBQ的面积是一个定值，并求出这个定值；
（3）当∠QPB=90°时，抛物线y=

1

3

x2+bx+c经过B、P两点，过线段BP上一动点M作y轴的平行线交抛物线于点N，交线段CB于点G，交x轴于点H，连结PG，BH，试探究：当线段MN的长取最大值时，判定四边形GPHB的形状．

Answer 1

分析：（1）根据运动的速度即可求解；
（2）根据S_{四边形OPBQ}=S_{四边形OABC}-S_△PAB-S_△CBQ，分别利用t表示出S_{四边形OABC}，S_△PAB，S_△CBQ，即可求解；
（3）易证：△OPQ～△ABP，根据相似三角形的对应边的比相等，即可求得t的值，则P的坐标可以求得，利用待定系数法即可求得函数的解析式，则MN的长度可以利用t表示出来，然后利用函数的性质即可求解．

解答：解：（1）填空：OP=2t，OQ=4-t  　    …（2分）
（2）根据题意，易知：AB=4，PA=（8-2t），BC=8，CQ=t
∴S_{四边形OPBQ}=S_{四边形OABC}-S_△PAB-S_△CBQ…（3分）
=4×8-

1

2

AB×PA-

1

2

BC×CQ
=32-

1

2

×4×（8-2t）-

1

2

×8×t
=32-16+4t-4t=16
∴四边形OPBQ的面积是一个定值，这个定值是16…（5分）
（3）当∠QPB=90°时，
易证：△OPQ～△ABP…（6分）
∴

OP

AB

=

OQ

AP

（7分）
∴

2t

4

=

4-t

8-2t

解得：t=1  或t=4（不合，舍去）
∴t=1
∴OP=2，即点P（2，0）…（8分）
又点B（8，4）、点P（2，0）在抛物线y=

1

3

x2+bx+c上，
可求得：b=-

8

3

，c=4
∴此时抛物线的解析式为y=

1

3

x2-

8

3

x+4…（9分）
由点P（2，0），点B（8，4）可求得直线PB的解析式为y=

2

3

x-

4

3

…（10分）
则根据题意设点M（x，

2

3

x-

4

3

），点 N（x，

1

3

x2-

8

3

x+4）…（11分）
∴MN=

2

3

x-

4

3

-（

1

3

x2-

8

3

x+4）
=-

1

3

(x-5)2+3
∴当x=5时，MN最大值为3…（12分）
此时PG=OG-OP=5-2=3，BH=CB-CH=8-5=3
∴PG与BH平行且相等
∴四边形GPHB是平行四边形．…（13分）

点评：本题考查了二次函数解析式的确定、相似三角形的判定和性质等知识点以及平行四边形的判定，正确求得MN的长是关键．