Question

（2012•苏州）如图，正方形ABCD的边AD与矩形EFGH的边FG重合，将正方形ABCD以1cm/s的速度沿FG方向移动，移动开始前点A与点F重合，在移动过程中，边AD始终与边FG重合，连接CG，过点A作CG的平行线交线段GH于点P，连接PD．已知正方形ABCD的边长为1cm，矩形EFGH的边FG，GH的长分别为4cm，3cm，设正方形移动时间为x（s），线段GP的长为y（cm），其中0≤x≤2.5．
（1）试求出y关于x的函数关系式，并求当y=3时相应x的值；
（2）记△DGP的面积为S₁，△CDG的面积为S₂．试说明S₁-S₂是常数；
（3）当线段PD所在直线与正方形ABCD的对角线AC垂直时，求线段PD的长．

Answer 1

分析：（1）根据题意表示出AG、GD的长度，再由△GCD∽△APG，利用对应边成比例可解出x的值．
（2）利用（1）得出的y与x的关系式表示出S₁、S₂，然后作差即可．
（3）延长PD交AC于点Q，然后判断△DGP是等腰直角三角形，从而结合x的范围得出x的值，在Rt△DGP中，解直角三角形可得出PD的长度．

解答：解：（1）∵CG∥AP，
∴∠CGD=∠GAP，
又∵∠CDG=∠AGP，
∴△GCD∽△APG，
∴

CD

GD

=

PG

AG

，
∵GF=4，CD=DA=1，AF=x，
∴GD=3-x，AG=4-x，
∴

1

3-x

=

y

4-x

，即y=

4-x

3-x

，
∴y关于x的函数关系式为y=

4-x

3-x

，
当y=3时，

4-x

3-x

=3，解得x=2.5，
经检验的x=2.5是分式方程的根．
故x的值为2.5；

（2）∵S₁=

1

2

GP•GD=

1

2

•

4-x

3-x

•（3-x）=

4-x

2

（cm²），
S₂=

1

2

GD•CD=

1

2

（3-x）×1=

3-x

2

（cm²），
∴S₁-S₂=

4-x

2

-

3-x

2

=

1

2

（cm²），即为常数；

（3）延长PD交AC于点Q．
∵正方形ABCD中，AC为对角线，
∴∠CAD=45°，
∵PQ⊥AC，
∴∠ADQ=45°，
∴∠GDP=∠ADQ=45°．
∴△DGP是等腰直角三角形，则GD=GP，
∴3-x=

4-x

3-x

，
化简得：x²-5x+5=0．
解得：x=

5± 5

2

，
∵0≤x≤2.5，
∴x=

5- 5

2

，
在Rt△DGP中，PD=

GD

cos45°

=

2

（3-x）=

2 + 10

2

（cm）．

点评：此题考查了正方形的性质、等腰三角形的性质及解直角三角形的知识，解答本题的关键是用移动的时间表示出有关线段的长度，然后运用所学知识进行求解．