题目内容
在△ABC中，∠ABC=45°，tan∠ACB=
．如图，把△ABC的一边BC放置在x轴上，有OB=14，OC=
，AC与y轴交于点E．
（1）求AC所在直线的函数解析式；
（2）过点O作OG⊥AC，垂足为G，求△OEG的面积；
（3）已知点F（10，0），在△ABC的边上取两点P，Q，是否存在以O，P，Q为顶点的三角形与△OFP全等，且这两个三角形在OP的异侧？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】分析：（1）根据三角函数求E点坐标，运用待定系数法求解；
（2）在Rt△OGE中，运用三角函数和勾股定理求EG，OG的长度，再计算面积；
（3）分两种情况讨论求解：①点Q在AC上；②点Q在AB上③当Q在BC边上时．求直线OP与直线AC的交点坐标即可．
解答：解：（1）在Rt△OCE中，OE=OCtan∠OCE=
=
，∴点E（0，2
）．
设直线AC的函数解析式为y=kx+
，有
，解得：k=
．
∴直线AC的函数解析式为y=
．
（2）在Rt△OGE中，tan∠EOG=tan∠OCE=
=
，
设EG=3t，OG=5t，OE=
=
t，∴
，得t=2，
故EG=6，OG=10，
∴S△OEG=
．
（3）存在．
①当点Q在AC上时，点Q即为点G，
如图1，作∠FOQ的角平分线交CE于点P1，
由△OP1F≌△OP1Q，则有P1F⊥x轴，由于点P1在直线AC上，当x=10时，
y=-
=
，
∴点P1（10，
）．
②当点Q在AB上时，
如图2，有OQ=OF，作∠FOQ的角平分线交CE于点P2，
过点Q作QH⊥OB于点H，设OH=a，
则BH=QH=14-a，
在Rt△OQH中，a2+（14-a）2=100，
解得：a1=6，a2=8，
∴Q（-6，8）或Q（-8，6）．
连接QF交OP2于点M．
当Q（-6，8）时，则点M（2，4）．
当Q（-8，6）时，则点M（1，3）．
设直线OP2的解析式为y=kx，则
2k=4，k=2．
∴y=2x．
解方程组
，得
．
∴P2（
）；
当Q（-8，6）时，则点M（1，3），
同理可求P3（
）；
如备用图4，由QP4∥OF，QP4=OF=10，
设点P4的横坐标为x，则点Q的横坐标为（x-10），
∵yQ=yP，直线AB的函数解析式为：y=x+14，
∴x-10+14=-
x+2
，
解得：x=
，可得y=
，
∴点P4（
，
），
当Q在BC边上时，如图5，
③当Q在BC边上时，如图5，OQ=OF=10，点P5在E点，
∴P5（0，2
），
综上所述，满足条件的P点坐标为（10，
）或（
）或（
）或（0，2
），（
，
）．
点评：此题考查一次函数的综合应用，运用了分类讨论的数学思想方法，综合性强，难度大．
（2）在Rt△OGE中，运用三角函数和勾股定理求EG，OG的长度，再计算面积；
（3）分两种情况讨论求解：①点Q在AC上；②点Q在AB上③当Q在BC边上时．求直线OP与直线AC的交点坐标即可．
解答：解：（1）在Rt△OCE中，OE=OCtan∠OCE=
=
，∴点E（0，2
）．设直线AC的函数解析式为y=kx+
，有
，解得：k=
．∴直线AC的函数解析式为y=
．（2）在Rt△OGE中，tan∠EOG=tan∠OCE=
=
，设EG=3t，OG=5t，OE=
=
t，∴
，得t=2，故EG=6，OG=10，
∴S△OEG=
．（3）存在．
①当点Q在AC上时，点Q即为点G，
如图1，作∠FOQ的角平分线交CE于点P1，
由△OP1F≌△OP1Q，则有P1F⊥x轴，由于点P1在直线AC上，当x=10时，
y=-
=
，∴点P1（10，
）．②当点Q在AB上时，
如图2，有OQ=OF，作∠FOQ的角平分线交CE于点P2，
过点Q作QH⊥OB于点H，设OH=a，
则BH=QH=14-a，
在Rt△OQH中，a2+（14-a）2=100，
解得：a1=6，a2=8，
∴Q（-6，8）或Q（-8，6）．
连接QF交OP2于点M．
当Q（-6，8）时，则点M（2，4）．
当Q（-8，6）时，则点M（1，3）．
设直线OP2的解析式为y=kx，则
2k=4，k=2．
∴y=2x．
解方程组
，得
．∴P2（
）；当Q（-8，6）时，则点M（1，3），
同理可求P3（
）；
如备用图4，由QP4∥OF，QP4=OF=10，
设点P4的横坐标为x，则点Q的横坐标为（x-10），
∵yQ=yP，直线AB的函数解析式为：y=x+14，
∴x-10+14=-
x+2
，解得：x=
，可得y=
，∴点P4（
，
），当Q在BC边上时，如图5，
③当Q在BC边上时，如图5，OQ=OF=10，点P5在E点，
∴P5（0，2
），综上所述，满足条件的P点坐标为（10，
）或（
）或（
）或（0，2
），（
，
）．点评：此题考查一次函数的综合应用，运用了分类讨论的数学思想方法，综合性强，难度大．
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