Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+x+与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点．

（1）如图1，P为直线BC上方抛物线上一动点，过点P作PQ∥y轴交BC于点Q．在抛物线的对称轴上有一动点M，在x轴上有一动点N，当6PQ﹣CQ的值最大时，求PM+MN+NB的最小值；

（2）如图2，将△ABC绕点B逆时针旋转90°后得到△A′BC'，再将△A′BC′向右平移1个单位得到△A“B′C“，那么在抛物线的对称轴DM上，是否存在点T，使得△A′B′T为等腰三角形？若存在，求出点T到x轴的距离；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在．T到x轴的距离为或4﹣或4+或2．

【解析】

（1）令x＝0得到C（0，），令y＝0得到A（﹣1，0），B（3，0），BC＝2，设直线BC解析式为y＝kx+b，计算得到直线BC解析式为y＝﹣x+，设P（m，﹣m2+m+），由题意得到BK＝；过P′作P′T⊥BK于T，作P′W∥y轴交BK于点W，根据三角函数得到NT＝NB；由B（3，0），K（0，﹣），则直线BK解析式为y＝x，根据平行线的性质及相似三角形的判定得到△P′WT∽△BKO，由相似三角形的性质结合题意进行计算，得到答案；

（2）由旋转的性质得到A′（3，﹣4），B′（4，0），设T（1，t），由于△A′B′T为等腰三角形，所以分三种情形：①A′T＝B′T；②A′T＝A′B′；③B′T＝A′B′，进行计算，即可得到答案.

解：（1）在抛物线y＝﹣x2+x+中，令x＝0，得y＝，∴C（0，），

令y＝0，得0＝﹣x2+x+，解得x1＝﹣1，x2＝3，∴A（﹣1，0），B（3，0），BC＝2，

设直线BC解析式为y＝kx+b，则，解得，

∴直线BC解析式为y＝﹣x+，

设P（m，﹣m2+m+），则Q（m，﹣m+），PQ＝﹣m2+m，CQ＝m

∴6PQ﹣CQ＝6（﹣m2+m）﹣m＝﹣2（m﹣）2+，

∵﹣2＜0，∴当m＝时，6PQ﹣CQ的值最大，此时，P（，），

由y＝﹣x2+x+＝-（x﹣1）2+，得抛物线对称轴为：x＝1，

作点P关于对称轴x＝1的对称点P′（，），在y轴负半轴上取点K（0，﹣），连接BK交对称轴于S，则BK＝，

过P′作P′T⊥BK于T，作P′W∥y轴交BK于点W，

在△BNT中，＝tan∠OBK＝，∴NT＝NB，

∴线段P′T长度为PM+MN+NB最小值，

∵B（3，0），K（0，﹣），∴直线BK解析式为y＝x，

∴W（，），P′W＝﹣（）＝，

∵P′W∥y轴，∴∠P′WT＝∠BKO

∵∠P′TW＝∠BOK＝90°

∴△P′WT∽△BKO

∴，P′T＝×＝，

∴PM+MN+NB最小值＝．

（2）存在．

∵△ABC绕点B逆时针旋转90°后得到△A′BC'，再将△A′BC′向右平移1个单位得到△A′′B′C′′，

∴A′（3，﹣4），B′（4，0），∵点T在抛物线对称轴直线x＝1上，∴设T（1，t）

∵△A′B′T为等腰三角形，∴分三种情形：

①A′T＝B′T，（3﹣1）2+（﹣4﹣t）2＝（4﹣1）2+（0﹣t）2，解得：t＝，

∴此时T到x轴的距离为；

②A′T＝A′B′，（3﹣1）2+（﹣4﹣t）2＝（3﹣4）2+（﹣4﹣0）2，解得：t＝﹣4+或﹣4﹣，

∴此时T到x轴的距离为4﹣或4+；

③B′T＝A′B′，（4﹣1）2+（0﹣t）2＝（3﹣4）2+（﹣4﹣0）2，解得：t＝2或﹣2，

∴此时T到x轴的距离为2；

综上所述，T到x轴的距离为或4﹣或4+或2．