题目内容
如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，将矩形ABCD沿对角线AC平移，平移后的矩形为EFGH（A、E、C、G始终在同一条直线上），当点E与C重合时停止移动．平移中EF与BC交于点N，GH与BC的延长线交于点M，EH与DC交于点P，FG与DC的延长线交于点Q．设S表示矩形PCMH的面积，S′表示矩形NFQC的面积．
（1）S与S′相等吗？请说明理由．
（2）设AE=x，写出S和x之间的函数关系式，并求出x取何值时S有最大值，最大值是多少？
（3）连结BE，是否存在x，△BEC是等腰三角形？若存在，求出此时x的值；若不存在，说明理由．
（图2、图3供同学们分析题目使用，请用钢笔或圆珠笔完成草图）
（1）S与S′相等吗？请说明理由．
（2）设AE=x，写出S和x之间的函数关系式，并求出x取何值时S有最大值，最大值是多少？
（3）连结BE，是否存在x，△BEC是等腰三角形？若存在，求出此时x的值；若不存在，说明理由．
（图2、图3供同学们分析题目使用，请用钢笔或圆珠笔完成草图）
考点：四边形综合题
专题：
分析：（1）相等，由S=S△EGH-S△ECP-S△CGM=S′=S△EGF-S△ECN-S△CGQ求解即可．
（2）设AE=x，可求出EC的长，利用三角函数求出PC与CM的值，根据矩形的面积公式即可得出S，x的函数关系式．然后根据函数的性质可得出S的最大值及对应的x的值．
（3）本题要分两种情况进行讨论：①当EC=BC=4时，即x=1时，△BEC是等腰三角形．②当BE=EC=
时，即x=
时，△BEC是等腰三角形．
（2）设AE=x，可求出EC的长，利用三角函数求出PC与CM的值，根据矩形的面积公式即可得出S，x的函数关系式．然后根据函数的性质可得出S的最大值及对应的x的值．
（3）本题要分两种情况进行讨论：①当EC=BC=4时，即x=1时，△BEC是等腰三角形．②当BE=EC=
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| 2 |
| 5 |
| 2 |
解答：解：（1）相等．
理由为：∵四边形ABCD、EFGH是矩形，
∴S△EGH=S△EGF，S△ECN=S△ECP，S△CGQ=S△CGM
∴S△EGH-S△ECP-S△CGM=S△EGF-S△ECN-S△CGQ，即S=S′．
（2）如图1，
∵AB=3，BC=4，
∴AC=
=
=5，
设AE=x，则EC=5-x，
∵sin∠PEC=sin∠DAC=
，cos∠PEC=cos∠DAC=
，
∴PC=
（5-x），MC=4-EP=4-
（5-x）=
x，
所以S=PC•MC=
x（5-x），
即S=-
x2+
x，（0≤x≤5）
配方得：S=-
（x-
）2+3，
所以当x=
时，S有最大值3．
（3）①如图2，当EC=BC=4时，即x=1时，△BEC是等腰三角形．
②如图3，当BE=EC=
时，即x=
时，△BEC是等腰三角形．
理由为：∵四边形ABCD、EFGH是矩形，
∴S△EGH=S△EGF，S△ECN=S△ECP，S△CGQ=S△CGM
∴S△EGH-S△ECP-S△CGM=S△EGF-S△ECN-S△CGQ，即S=S′．
（2）如图1，
∵AB=3，BC=4，
∴AC=
| AB2+BC2 |
| 32+42 |
设AE=x，则EC=5-x，
∵sin∠PEC=sin∠DAC=
| 3 |
| 5 |
| 4 |
| 5 |
∴PC=
| 3 |
| 5 |
| 4 |
| 5 |
| 4 |
| 5 |
所以S=PC•MC=
| 12 |
| 25 |
即S=-
| 12 |
| 25 |
| 12 |
| 5 |
配方得：S=-
| 12 |
| 25 |
| 5 |
| 2 |
所以当x=
| 5 |
| 2 |
（3）①如图2，当EC=BC=4时，即x=1时，△BEC是等腰三角形．
②如图3，当BE=EC=
| 5 |
| 2 |
| 5 |
| 2 |
点评：本题主要考查了矩形的性质、解直角三角形、二次函数的应用、等腰三角形的判定等知识点．解题的关键在讨论时不要漏解．
练习册系列答案
相关题目
5的算术平方根是（ ）
| A、5 | ||
B、
| ||
C、±
| ||
| D、25 |
不等式组
的解集在数轴上可表示为（ ）
|
A、 |
B、 |
C、 |
D、 |
已知：如图，等腰梯形ABCD的边BC在x轴上，点A在y轴的正方向上，A（ 0，6 ），D（ 4，6），且AB=