Question

【题目】如图，在边长为的正方形中，点，，，分别按，，，的方向同时出

发，以的速度匀速运动．在运动过程中，设四边形的面积为，运动时间为．

试证明四边形是正方形；

写出关于的函数关系式，并求运动几秒钟时，面积最小，最小值是多少？

是否存在某一时刻，使四边形的面积与正方形的面积比是？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】证明见解析；秒时，有最小值，最小值是；或时，四边形的面积与正方形的面积的比是．

【解析】

根据四个点的速度相同可知，根据正方形的性质可证明可证明四边形是菱形，根据，，可知，即可证明四边形为正方形． （2）时间为t，速度为1，则AE=t，AH=4-t，即可知S关于t的关系式.根据关系式即可求出最小值与最大值.（3）根据边长可求出正方形ABCD的面积，再根据面积比，结合（2）所求关系式即可求出t的值.

∵点，，，在四条边上的运动速度相同，

∴，

在正方形中，，

且，

∴，

∴，

∴（全等三角形的对应边相等），

（全等三角形的对应角相等），

∴四边形是菱形．（四条边相等的四边形是菱形），

又∵，

∴，

∴，

∴四边形为正方形．（有一个角是直角的菱形是正方形）．

∵运动时间为，运动速度为，

∴，，

由知四边形为正方形，

∴

即，

当秒时，有最小值，最小值是；

存在某一时刻，使四边形的面积与正方形的面积比是．

∵，

∴，∴，；

当或时，

四边形的面积与正方形的面积的比是．