Question

如图，在平面直角坐标系中有一个矩形OABC，点A在x轴上，点C在y轴上，点B的坐标为（4，3）．在正方形的内部，任取一点D，连接OD，AD，得到∠ADO，小刚认为∠ADO最有可能是钝角，而小青认为∠ADO是锐角的可能性更大，你认为他们俩谁的说法正确？说明理由．

Answer 1

分析：先以OA为直径作⊙P，由题意可知，P与BC相离．在矩形的内部、半圆⊙P的外部任取一点Q，连接OQ，交⊙P于点M，连接AM，再根据圆周角定理得出∠OMA=90°，再根据点D在半⊙P的外部时，∠ADO是锐角，同理可得，当点D在半⊙P的内部时，∠ADO是钝角即可得出∠ADO是钝角或锐角的概率．

解答：解：如图，连接AQ．
以OA为直径作⊙P，由题意可知，P与BC相离．
在矩形的内部、半圆⊙P的外部任取一点Q，连接OQ，交⊙P于点M，连接AM，
∵OA为⊙O的直径，
∴∠OMA=90°＞∠AQO，
可以得出，当点D在半⊙P的外部时，∠ADO是锐角，
同理可得，当点D在半⊙P的内部时，∠ADO是钝角，（7分）
矩形的面积为3×4=12，半⊙P的面积为

1

2

π×4=2π，
∴∠ADO是钝角的概率为

2π

12

=

π

6

，
∠ADO是锐角的概率为

12-2π

12

=

6-π

6

，
∵

π

6

＞

6-π

6

，
∴是钝角的可能性更大，小刚的说法是正确的．（12分）

点评：本题考查的是圆周角定理、坐标与图形的性质、矩形的性质及几何概率，解答此题的关键是得出当点D在半⊙P的外部时，∠ADO是锐角，当点D在半⊙P的内部时，∠ADO是钝角这一关键问题．