题目内容

我们把长与宽之比为 $数学公式$ 的矩形纸片称为标准纸．不难发现，将一张标准纸如图一次又一次对开后，所得的矩形纸片都是标准纸．现有一张标准纸ABCD，AB=1，BC= $数学公式$ ，那么把它第2012次对开后所得标准纸的周长是________．

$\text{[math]}$
分析：首先根据题意求出则第n对开后的长为：（ $\text{[math]}$ ）^n-1，宽为：（ $\text{[math]}$ ）ⁿ，则周长为：2[（ $\text{[math]}$ ）^n-1+（ $\text{[math]}$ ）ⁿ]= $\text{[math]}$ ，然后代入求解即可求得答案．
解答：∵AB=1，BC= $\text{[math]}$ ，
∴第一对开后的长为：1，宽为： $\text{[math]}$ ，则周长为：2（1+ $\text{[math]}$ ）=2+ $\text{[math]}$ ，
第二对开后的长为： $\text{[math]}$ ，宽为： $\text{[math]}$ ，则周长为：2（ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ +1，
第三对开后的长为： $\text{[math]}$ ，宽为： $\text{[math]}$ ，则周长为：2（ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ）=1+ $\text{[math]}$ ，
则第n对开后的长为：（ $\text{[math]}$ ）^n-1，宽为：（ $\text{[math]}$ ）ⁿ，则周长为：2[（ $\text{[math]}$ ）^n-1+（ $\text{[math]}$ ）ⁿ]= $\text{[math]}$ ，
∴当n=2012时，所得标准纸的周长是： $\text{[math]}$ ．
故答案为： $\text{[math]}$ ．
点评：此题考查了矩形的性质，属于规律性题目，注意掌握数形结合思想的应用，注意得到则第n对开后的长为：（ $\text{[math]}$ ）^n-1，宽为：（ $\text{[math]}$ ）ⁿ，则周长为：2[（ $\text{[math]}$ ）^n-1+（ $\text{[math]}$ ）ⁿ]= $\text{[math]}$ 是解此题的关键．