Question

（2013•江阴市模拟）我们把长与宽之比为

2

的矩形纸片称为标准纸．不难发现，将一张标准纸如图一次又一次对开后，所得的矩形纸片都是标准纸．现有一张标准纸ABCD，AB=1，BC=

2

，那么把它第2012次对开后所得标准纸的周长是

1+ 2

21005

．

Answer 1

分析：首先根据题意求出则第n对开后的长为：（

1

2

）^n-1，宽为：（

1

2

）ⁿ，则周长为：2[（

1

2

）^n-1+（

1

2

）ⁿ]=

2(1+ 2 )

( 2 )n

，然后代入求解即可求得答案．

解答：解：∵AB=1，BC=

2

，
∴第一对开后的长为：1，宽为：

2

2

，则周长为：2（1+

2

2

）=2+

2

，
第二对开后的长为：

2

2

，宽为：

1

2

，则周长为：2（

2

2

+

1

2

）=

2

+1，
第三对开后的长为：

1

2

，宽为：

2

4

，则周长为：2（

1

2

+

2

4

）=1+

2

2

，
则第n对开后的长为：（

1

2

）^n-1，宽为：（

1

2

）ⁿ，则周长为：2[（

1

2

）^n-1+（

1

2

）ⁿ]=

2(1+ 2 )

( 2 )n

，
∴当n=2012时，所得标准纸的周长是：

1+ 2

21005

．
故答案为：

1+ 2

21005

．

点评：此题考查了矩形的性质，属于规律性题目，注意掌握数形结合思想的应用，注意得到则第n对开后的长为：（

1

2

）^n-1，宽为：（

1

2

）ⁿ，则周长为：2[（

1

2

）^n-1+（

1

2

）ⁿ]=

2(1+ 2 )

( 2 )n

是解此题的关键．