Question

如图△ABC中，点O是AC上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠GCA的平分线于点F．
（1）说明 EO=FO．
（2）当点O运动到何处，四边形AECF是矩形？说明你的结论．
（3）当点O运动到何处，AC与BC具有怎样的关系时，四边形AECF是正方形？为什么？

Answer 1

分析：（1）由平行线的性质和角平分线的性质，推出∠ECB=∠CEO，∠GCF=∠CFO，∠ECB=∠ECO，∠GCF=∠OCF，通过等量代换即可推出∠CEO=∠ECO，∠CFO=∠OCF，便可确定OC=OE，OC=OF，可得OE=OF；
（2）当O点运动到AC的中点时，四边形AECF为矩形，根据矩形的判定定理（对角线相等且互相平分的四边形为矩形），结合（1）所推出的结论，即可推出OA=OC=OE=OF，求出AC=EF后，即可确定四边形AECF为矩形；
（3）当O点运动到AC的中点时，AC⊥BC时，四边形AECF是正方形，根据（2）所推出的结论，由AC⊥BC，MN∥BC，确定AC⊥EF，即可推出结论．

解答：解：（1）∵MN∥BC，
∴∠ECB=∠CEO，∠GCF=∠CFO，
∵CE，CF分别为∠BCA，∠GCA的角平分线，
∴∠ECB=∠ECO，∠GCF=∠OCF，
∴∠CEO=∠ECO，∠CFO=∠OCF，
∴OC=OE，OC=OF，
∴OE=OF，

（2）当O点运动到AC的中点时，四边形AECF为矩形，
理由：∵O点为AC的中点，
∴OA=OC，
∵OE=OF，OC=OE=OF，
∴OA=OC=OE=OF，
∴AC=EF，
∴四边形AECF是矩形，

（3）当O点运动到AC的中点时，AC⊥BC时，四边形AECF是正方形，
理由：∵O点为AC的中点，
∴OA=OC，
∵OE=OF，OC=OE=OF，
∴OA=OC=OE=OF，
∴AC=EF，
∵AC⊥BC，MN∥BC，
∴AC⊥EF，
∴四边形AECF是正方形．

点评：本题主要考查矩形的判定定理，正方形的判定定理，角平分线和平行线的性质等知识点，关键在于结合相关的性质定理通过等量代换推出OE=OC=OF；根据矩形的判定定理确定O点的位置；根据正方形的判定定理确定O点的位置，AC和BC的位置关系．