Question

【题目】在Rt△ABC中，∠BAC=90°，BC=10，tan∠ABC=，点O是AB边上动点，以O为圆心，OB为半径的⊙O与边BC的另一交点为D，过点D作AB的垂线，交⊙O于点E，联结BE、AE

（1）如图（1），当AE∥BC时，求⊙O的半径长；

（2）设BO=x，AE=y，求y关于x的函数关系式，并写出定义域；

（3）若以A为圆心的⊙A与⊙O有公共点D、E，当⊙A恰好也过点C时，求DE的长．

Answer 1

【答案】（1）⊙O的半径长为；（2）y =，定义域（0＜x≤）；（3）当⊙A恰好也过点C时，DE的长为或12．

【解析】

（1）如图1中，过点O作OG⊥BD于G设AB与DE的交点为F．首先证明AE＝BD＝DC＝10，再利用垂径定理求出BG，在Rt△BOD中，解直角三角形即可；

（2）如图2中，过点A作AH⊥BC于H，如图（2），首先求出AB、AC、AH，根据y＝AE＝AD＝，即可解决问题；

（3）分两种情形①若点D在H的左边，如图（2），②若点D在H的右边，分别求解即可解决问题．

（1）过点O作OG⊥BD于G，设AB与DE的交点为F，如图（1），

∵OG⊥BD于G，

∴BG=DG．

∵DE⊥AB，

∴EF=DF，

∵AE∥BC，

∴∠AEF=∠BDF．

在△AEF和△BDF中，

，

∴△AEF≌△BDF，

∴AE=BD．

∵∠BFD=∠BAC=90°，

∴DE∥AC．

∵AE∥BC，

∴四边形AEDC是平行四边形，

∴AE=DC，

∴BD=DC=BC=5，

∴BG=DG=BD=．

在Rt△BGO中，

tan∠OBG==，

∴OG=BG=×=，

∴OB===，

∴⊙O的半径长为；

（2）过点A作AH⊥BC于H，如图（2），

在Rt△BAC中，

tan∠ABC==，

设AC=3k，则AB=4k，

∴BC=5k=10，

∴k=2，

∴AC=6，AB=8，

∴AH===，

∴BH==，

∴HC=BC﹣BH=10﹣=．

∵AB⊥DE，

∴根据垂径定理可得DF=EF，

∴AB垂直平分DE，

∴AE=AD．

在Rt△BGO中，

tan∠OBG==，

∴OG=BG，

∴OB===BG=x，

∴BG=x，

∴BD=2BG=x，

∴DH=BH﹣BD=﹣x，

∴y=AE=AD===

定义域（0＜x≤）；

（3）①若点D在H的左边，如图（2），

∵AD=AC，AH⊥DC，

∴DH=CH=，

∴BD=BH﹣DH=﹣=．

在Rt△BFD中，

tan∠FBD==，

∴BF=DF，

∴BD== DF=，

∴DF=，

∴DE=2DF=；

②若点D在H的右边，

则点D与点C重合，

∴BD=BC=10，

∴DF=10，

∴DF=6，

∴DE=2DF=12．

综上所述：当⊙A恰好也过点C时，DE的长为